Filtro Butterworth

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Il filtro Butterworth (o "massimamente piatto") è uno dei più semplici filtri elettronici. Il suo scopo è ottenere una risposta in frequenza il più possibile piatta (in modulo) nella banda passante.

Il primo a descriverli fu il fisico inglese Stephen Butterworth nel suo articolo "On the Theory of Filter Amplifiers", Wireless Engineer (anche chiamato Experimental Wireless and the Radio Engineer), vol. 7, 1930, pp. 536-541.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La definizione del filtro non vincola la realizzazione del circuito elettronico, che può essere liberamente progettato, ma solo la sua funzione di trasferimento. Sono filtri Butterworth tutti i circuiti la cui funzione di trasferimento ha come denominatore e/o numeratore, dei polinomi di Butterworth di ordine arbitrario.

Se B^{(k)}(s) è un polinomio di Butterworth di ordine k, la funzione di trasferimento del circuito dovrà essere esprimibile nella forma H(s) = {\frac{B^{(n)}(\frac{s}{\omega_0})}{B^{(m)}(\frac{s}{\omega_0})}}.

Perché il filtro sia causale (quindi realizzabile) deve essere m>n.

I polinomi di Butterworth[modifica | modifica wikitesto]

Un polinomio, per appartenere alla famiglia dei polinomi di Butterworth deve:

  • Essere a coefficienti reali
  • Avere tutti gli zeri sulla circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine (il raggio della circonferenza diverrà \omega_0 quando il polinomio sarà scritto nella forma B^{(n)}(\frac{s}{\omega_0}))

Inoltre:

  • se n è dispari, le radici del polinomio devono essere le radici 2n-esime di 1 a parte reale negativa
  • se n è pari, le radici del polinomio devono essere le radici 2n-esime di (-1) a parte reale negativa

L'utilizzo dei polinomi di Butterwort in una funzione di trasferimento, la rende massimalmente piatta in banda passante: le sue derivate in \omega_0 fino all'ordine 2n-1 sono nulle.

I polinomi di Butterworth si trovano tabulati su manuali di elettronica e su Internet, espressi sotto forma di prodotto di polinomi di grado 2 e grado 1, per poter realizzare un circuito di ordine elevato come cascata di circuiti di ordine 2 e 1.

I filtri[modifica | modifica wikitesto]

La risposta in frequenza di un filtro Butterworth passa-basso di primo ordine

Il più semplice filtro Butterworth è il filtro passa-basso standard di primo ordine, che può essere modificato per ottenere un filtro passa-alto, e combinato in serie con altri per ottenere filtri passa-banda, filtri elimina-banda, e versioni di ordine superiori di questi.

Come già accennato, la risposta in frequenza di questi filtri è quella maggiormente piatta ottenibile nella banda passante (priva di ondulazioni in banda), mentre fuori banda ha una funzione di trasferimento monotona, tendente a zero.

Osservata su un diagramma di Bode, la risposta in frequenza fuori banda ha fianchi che scendono linearmente verso -\infty.
Per un filtro di primo ordine l'attenuazione è pari a 6 dB/ottava (20 dB/decade); per un filtro di secondo ordine è 12 dB/ottava (40 dB/decade) e così via.
Tutti i filtri di primo ordine sono identici ed hanno la medesima risposta (normalizzata) in frequenza.

Il filtro Butterworth è l'unico filtro che mantiene la medesima risposta anche con ordini superiori (i fianchi saranno semplicemente più ripidi). Altri tipi di filtri (Bessel, Chebyshev, ellittico) presentano risposte differenti passando ad ordini superiori.

La risposta in frequenza di un filtro di ordine n può essere definita matematicamente come:

 \left | G(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + \omega ^ {2 n}} }

ove G è il trasferimento del filtro, n è l'ordine del filtro, ω è il rapporto tra la frequenza del segnale e la frequenza di taglio che si vuole imporre con il filtro.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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