Filtro ellittico

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Un filtro ellittico (chiamato anche filtro di Cauer) è un filtro caratterizzato da comportamento equiripple sia nella banda passante sia nella banda attenuata.

Ciò significa che l'errore massimo viene minimizzato in entrambe queste bande, a differenza del Filtro Chebyshev, dotato di comportamento equiripple solo in banda passante, e del filtro Chebyshev inverso, che ha questo comportamento solo in banda attenuata.

La risposta in frequenza di un filtro passa-basso ellittico è data dalla formula:


G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{1 + \varepsilon^2 R_n^2(\omega)}}

dove R_n è la funzione razionale di Chebyshev di n-esimo ordine.

Il nome di filtro ellittico deriva dal fatto che per determinare il grado n della funzione R_n, e per determinarne i poli e gli zeri, bisogna fare uso degli integrali ellittici completi o incompleti di prima specie.

Il calcolo dei poli della funzione di trasmissione H(s)=f(s)/g(s) può essere eseguito ricorrendo alle proprietà delle funzioni ellittiche in campo complesso; più semplicemente si possono ottenere risolvendo l'equazione caratteristica:


g(s) = \mathbf{Hw}\left[ h(s)h(-s) + f(s)f(-s) \right]

dove h(s) e f(s) sono rispettivamente il numeratore e il denominatore di \varepsilon R_n(s); \mathbf{Hw}[\ldots] è l'operatore che permette di separare la parte hurwitziana dal polinomio pari che forma il suo argomento, cioè permette di generare il polinomio che contiene solo le radici con parte reale negativa.

Va da sé che il calcolo e la sintesi dei filtri ellittici non può essere eseguito "a mano", ma richiede mezzi di calcolo adeguati. Per superare questa difficoltà esistono in commercio i catologhi dei filtri, il più completo dei quali, per quanto riguarda i filtri ellittici, è quello di Rudolph Saal, Handbook of filter design, AEG–Telefunken, Berlino, 1979. Qui vi sono tabulati sia gli zeri e i poli della funzione di trasferimento, sia, con grande precisione, le frequenze degli zeri di trasmissione per poter eseguire una taratura fine di queste quantità, sia, infine, i valori normalizzati dei componenti reattivi per la realizzazione passiva. Gli zeri e i poli della funzione di trasferimento servono invece per la realizzazione con celle attive o passive disaccopiate connesse in cascata, per esempio per l'esecuzione mediante filtri RC-attivi.

Ovviamente le consuete trasformazioni di frequenza consentono di trasformare le caratteristiche di trasmissione dei filtri passa-basso ellittici in quelle di altri filtri, passa-alto, passa-banda, elimina-banda, da realizzare in forma analogica a parametri concentrati o distribuiti commensurati, oppure come filtri numerici.


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