Filtro passa banda

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L'asse delle frequenze di questo grafico simbolico dovrebbe essere in scala logaritmica

In elettronica, un filtro passa banda è un dispositivo passivo che permette il passaggio di frequenze all'interno di un dato intervallo (la cosiddetta banda passante) ed attenua le frequenze al di fuori di esso. Un esempio di un circuito analogico che si comporta come filtro passa banda è un circuito RLC (una rete elettrica formata da resistore-induttore-capacitore prelevando l'uscita sul resistore). I più semplici filtri passa banda però possono anche essere creati dalla combinazione di un filtro passa basso e un filtro passa alto opportunamente dimensionati.

Il filtro passa banda ideale ha una banda passante perfettamente piatta, non ha né attenuazioneguadagno per le frequenze all'interno, e attenua completamente tutte le frequenze al di fuori di questo intervallo.

Nella pratica, nessun filtro passa banda è ideale. Il filtro non attenua completamente tutte le frequenze al di fuori della banda voluta; in particolare, esiste una regione contigua alla banda passante dove le frequenze sono attenuate ma non completamente. In queste regioni (dette "di roll-off"), l'attenuazione è generalmente espressa in decibel. Normalmente la progettazione di un filtro cerca di mantenere le regioni di roll-off più strette possibili, in modo che il filtro operi il più possibile come filtro ideale. D'altra parte, più queste regioni si assottigliano, meno la banda passante è piatta: a un certo punto presenta delle ondulazioni sempre più evidenti. Questo effetto è particolarmente pronunciato ai limiti della banda passante, un effetto noto come fenomeno di Gibbs.

Tra la frequenza di taglio inferiore f1 e quella superiore f2 di una banda passante, si trova la frequenza di risonanza, in corrispondenza della quale il guadagno del filtro è massimo. La banda passante del filtro è semplicemente la differenza tra f2 e f1.

Al di fuori del campo dell'elettronica e dell'elaborazione dei segnali, un esempio di filtro passa banda lo si ha nel campo della meteorologia. È cosa comune filtrare i dati meteorologici recenti in un intervallo di frequenze (per esempio con un periodo da 3 a 10 giorni), in modo che solo i cicloni rimangano visibili come fluttuazioni nei dati.

Filtro passa banda come combinazione di un passa basso e passa alto[modifica | modifica wikitesto]

Filtro passivo passa banda come combinazione di un passa basso e di un passa alto.

Nel caso il filtro passa banda sia costituito da un passa basso con un passa alto abbiamo lo schema in figura. Se \mathbf V_1 è la tensione ai capi di C_1 allora

\frac{\mathbf V_{in} - \mathbf V_1}{R_1} = \frac{\mathbf V_1}{\mathbf Z_1} + \frac{\mathbf V_1}{R_2 + \mathbf Z_2}
\mathbf V_{out} = \frac{R_2}{R_2 + Z_2} \mathbf V_1

Calcoliamo ora la funzione di trasferimento:

k(j\omega) = \frac{1}{1 + \frac{1}{j \omega R_2 C_2}} \frac{1}{1 + j \omega R_1 C_1 + \frac{j \omega C_2 R_1}{1 + j \omega C_2 R_2}}

Si vede che esso è il prodotto di un passa alto e di un passa basso con un termine misto C_2 R_1. Se R_2 \gg R_1 si può trascurare il termine misto e scrivere per la funzione di trasferimento:

k(j\omega) \simeq \frac{1}{1 + \frac{1}{j \omega R_2 C_2}} \frac{1}{1 + j \omega R_1 C_1}

In questo modo si vede che se \omega_2 è la frequenza di taglio del passa alto e \omega_1 quella del passa basso con \omega_1 > \omega_2, la banda passante è data semplicemente da:

B_{\omega} = \omega_1 - \omega_2

Circuito RLC come passa banda[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi circuito RLC.

Il circuito RLC è un ottimo filtro passa banda nel senso che è molto più selettivo del passa banda come somma di un passa basso e di un passa alto. Nel caso di un circuito RLC in serie si ha un'impedenza totale data da:

\mathbf Z_{serie} = R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C} = R + j \left(\omega L - \frac{1}{\omega C} \right)

La frequenza di risonanza di questo circuito è ricavabile da:

j \left(\omega L - \frac{1}{\omega C} \right) = 0 \, \, \Rightarrow \, \, \omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

che corrisponde alla frequenza di risonanza:

f_{0} = \frac{1}{2\pi \sqrt{L \cdot C}}

cioè alla frequenza in cui la tensione di uscita è massima; quando gli effetti del condensatore e dell'induttore si annullano reciprocamente e tutta la tensione d'ingresso viene passata al resistore. La banda passante si ottiene con un semplice calcolo:

B_{\omega} = \omega _2 - \omega_1

Dove le due pulsazioni di taglio si ottengono, per definizione, quando il segnale d'uscita ha una variazione di -3dB cioè imponendo che l'ampiezza della funzione di trasferimento sia uguale a 1/\sqrt 2.

Nel caso di un circuito RLC in parallelo si ha un'ammettenza totale data da:

\mathbf Y_{parallelo} = G + j \omega C + \frac{1}{j \omega L} = G + j \left(\omega C - \frac{1}{\omega L} \right)

La frequenza di risonanza di questo circuito è uguale a quello per serie:

\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

che corrisponde alla frequenza di risonanza:

f_{0} = \frac{1}{2\pi \sqrt{L \cdot C}}

cioè alla frequenza in cui la tensione di uscita è massima; quando gli effetti del condensatore e dell'induttore si annullano reciprocamente e tutta la tensione d'ingresso viene passata al resistore. La banda passante si ottiene con un semplice calcolo:

B_{\omega} = \omega _2 - \omega_1

Dove le due pulsazioni di taglio si ottengono, per definizione, quando il segnale d'uscita ha una variazione di -3dB cioè imponendo che l'ampiezza della funzione di trasferimento sia uguale a 1/\sqrt 2.

In entrambi i circuiti RLC la risposta in frequenza presenta un picco pronunciato in corrispondenza della frequenza di risonanza, nel caso dell'RLC in serie introducendo il fattore di merito Q = \frac{\omega_0 L}{R}, la larghezza del picco diminuisce all'aumentare di Q, che dipendendo a sua volta da R ed L, si può diminuire R per aumentare Q, però in tal caso si diminuisce anche l'ampiezza. Infatti la banda passante è legata a Q dalla:

B_f = \frac{\omega_0}{2 \pi Q}

e viceversa:

Q = \frac{\omega_0}{2 \pi B_f} = \frac{\omega_0}{\omega_2 - \omega_1}

Nel caso dell'RLC in parallelo il fattore di merito è legato alla banda passante da:

Q = \frac{R}{\omega_0 L}

e il discorso sopra si inverte, cioè aumentare Q significa aumentare R.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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