Excerchi

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Dato un triangolo ABC, considerate le bisettrici esterne di due dei suoi angoli e quella interna del terzo, queste concorrono in uno stesso punto che prende il nome di excentro, considerando adesso altre due bisettrici esterne e una interna otteniamo un altro excentro, procedendo in modo analogo si determina un terzo excentro, si può quindi concludere che un triangolo possiede tre excentri. Questi punti sono i centri di tre cerchi, tangenti esternamente a due lati del triangolo ed internamente al terzo, che prendono il nome di excerchi.

Circonferenza ex-inscritta[modifica | modifica wikitesto]

Una circonferenza ex-inscritta ad un triangolo è una circonferenza tangente ad un lato e ai prolungamenti degli altri due.

Ogni triangolo ammette dunque tre circonferenze ex-inscritte, il raggio delle quali è noto come ex-raggio.

Ex-raggio[modifica | modifica wikitesto]

L'ex-raggio è il raggio di una circonferenza ex-inscritta ad un triangolo.

Con r_a si indica il raggio della circonferenza ex-inscritta tangente il lato a e i prolungamenti dei lati b e c di un triangolo, similmente per r_b e r_c

Formulario[modifica | modifica wikitesto]

  • r_a=\frac{S}{p-a}=p\tan\frac{\alpha}{2}
  • r_b=\frac{S}{p-b}=p\tan\frac{\beta}{2}
  • r_c=\frac{S}{p-c}=p\tan\frac{\gamma}{2}

Inoltre

  • S=\sqrt{rr_ar_br_c}
  • \frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}

Excentro[modifica | modifica wikitesto]

In blu le tre circonferenze exinscritte, aventi centro nei tre excentri del triangolo

Dato un triangolo T, la bisettrice del suo angolo interno corrispondente ad un vertice A interseca entrambe le bisettrici dei due angoli esterni relativi agli altri due vertici di T B e C in un unico punto, detto excentro del triangolo opposto ad A. Ogni triangolo ha perciò tre excentri. L'excentro opposto ad A è il centro della cosiddetta circonferenza exscritta di T opposta ad A, ovvero della circonferenza del cosiddetto excerchio di T opposto ad A: questa circonferenza è tangente al lato a del triangolo opposto ad A e ai prolungamenti degli altri due, cioè alle rette definite da A e B e da A e C rispettivamente. Il raggio dell'excerchio opposto ad A viene chiamato exraggio di T opposto ad A. Un triangolo possiede quindi anche tre circonferenze exscritte, tre excerchi e tre exraggi; di questi due coincidono se e solo se il triangolo è isoscele e tre coincidono se il triangolo è equilatero.

È evidenziato uno dei tre excentri del triangolo, quello opposto al vertice B

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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