Equazione omogenea di Eulero

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Le equazioni lineari omogenee a coefficienti variabili di Eulero sono Equazioni differenziali ordinarie omogenee a coefficienti variabili della forma

x^n y^{(n)}(x) + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \ldots + a_{n-1} x y'(x) + a_{n} y(x) = 0.

La sostituzione x=eu mostra subito che la ricerca di soluzioni per questo tipo di equazioni differenziali si può ridurre alla risoluzione di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Da questa osservazione segue che le soluzioni delle equazioni omogenee di Eulero si possono scrivere come combinazioni lineari di funzioni della forma

x^{\lambda}\log^m x,

ove λ è un numero complesso e m è un intero non negativo.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo la generica equazione omogenea di Eulero di secondo grado

x^{2} y'' + a_{1} x y' + a_{2} y = 0,

ove a1 e a2 sono numeri reali.

Sostituendo y(x) = x^{\lambda}, si ottiene:

\lambda (\lambda - 1) x^{\lambda} + a_{1} \lambda x^{\lambda} + a_{2} x^{\lambda} = 0,

che per x non nullo è equivalente a

\lambda (\lambda - 1) + a_{1} \lambda + a_{2} = 0.

Indicando con λ1 e λ2 le soluzioni di tale equazione di secondo grado, si ha che se tali soluzioni sono reali e distinte, allora la soluzione generale dell'equazione differenziale è

y(x) = a x^{\lambda_{1}} + b x^{\lambda_{2}}

Se invece le due soluzioni dell'equazione di secondo grado sono coincidenti, λ0:=λ1 λ2, allora la soluzione generale è

y(x) = a x^{\lambda_{0}} + b x^{\lambda_{0}} \log x

Infine se le due soluzioni sono complesse coniugate,

 \lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta

con α e β numeri reali, allora la soluzione generale è

y = x^\alpha \left(a\cos (\beta\log x) + b\sin (\beta \log x) \right).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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