Costante di Legendre

Costante di Legendre
Simbolo	B
Valore	1
Origine del nome	Adrien-Marie Legendre
I grafici mostrano rispettivamente i primi 105 e 107 valori della successione nella definizione della costante di Legendre (in rosso). Nel primo grafico la successione sembra convergere a 1.08366 (la linea blu) come congetturato da Legendre, ma in realtà converge a 1 (la linea nera).

La Costante di Legendre è una costante matematica che appare nella formulazione di Legendre del teorema dei numeri primi. Essa è definita come

$B = \lim_{n \rightarrow \infty } \ln(n) - {n \over \pi(n)},$

dove $\pi(x)$ è il numero dei primi inferiori a $x$.

Il valore effettivo della costante è stato oggetto di numerosi studi; è stato infine dimostrato da Charles Jean de la Vallée-Poussin che essa vale 1, per cui il suo utilizzo riveste ad oggi unicamente un valore storico.

Legendre aveva congetturato nel 1796 che π(x) è asintotico a

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)-B},$

ove B è una qualunque numero reale, ipotizzando inoltre che, tra tutte le possibili scelte di b, la migliore approssimazione è quella che si ottiene scegliendo B = 1,08366. Tuttavia, la dimostrazione del Teorema dei numeri primi (con la stima del termine d'errore) provata da de la Vallée-Poussin nel 1899, implica che la migliore approssimazione si ottiene con B = 1, contrariamente a quanto predetto da Legendre.

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Costante di Legendre su MathWorld.

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