Costante di Legendre

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Costante di Legendre
Simbolo B
Valore 1
Origine del nome Adrien-Marie Legendre
Legendre's constant.svg

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I grafici mostrano rispettivamente i primi 105 e 107 valori della successione nella definizione della costante di Legendre (in rosso). Nel primo grafico la successione sembra convergere a 1.08366 (la linea blu) come congetturato da Legendre, ma in realtà converge a 1 (la linea nera).

La Costante di Legendre è una costante matematica che appare nella formulazione di Legendre del teorema dei numeri primi. Essa è definita come

B = \lim_{n \rightarrow \infty } \ln(n) - {n \over \pi(n)},

dove \pi(x) è il numero dei primi inferiori a x.

Il valore effettivo della costante è stato oggetto di numerosi studi; è stato infine dimostrato da Charles Jean de la Vallée-Poussin che essa vale 1, per cui il suo utilizzo riveste ad oggi unicamente un valore storico.

Legendre aveva congetturato nel 1796 che π(x) è asintotico a

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)-B},

ove B è una qualunque numero reale, ipotizzando inoltre che, tra tutte le possibili scelte di b, la migliore approssimazione è quella che si ottiene scegliendo B = 1,08366. Tuttavia, la dimostrazione del Teorema dei numeri primi (con la stima del termine d'errore) provata da de la Vallée-Poussin nel 1899, implica che la migliore approssimazione si ottiene con B = 1, contrariamente a quanto predetto da Legendre.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

(EN) Eric W. Weisstein, Costante di Legendre in MathWorld, Wolfram Research.

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