Convenzione di Denavit-Hartenberg

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Sistema di riferimento ai giunti secondo la convenzione di Denavit-Hartenberg

La convenzione di Denavit-Hartenberg, abbreviata anche in D-H, è spesso usata per scegliere i sistemi di riferimento utilizzati in applicazioni robotiche introdotto da Jaques Denavit e Richard S. Hartenberg. Essa fa sì che una trasformazione geometrica possa essere rappresentata nello spazio euclideo tridimensionale con il numero minimo di parametri, ovvero quattro.

In tale convenzione ogni trasformazione omogenea è rappresentata dal prodotto di quattro trasformazioni base.

Parametri di Denavit-Hartenberg[modifica | modifica wikitesto]

I quattro parametri in grado di descrivere la trasformazione sono definiti come segue. Considerando due giunti consecutivi:

  • l'asse Z_{n-1} si sceglie coincidente con l'asse del giunto i-1, l'asse Z_n coincidente con l'asse del giunto i;
  • l'asse X_{n-1} può essere scelto liberamente, ma è conveniente porlo in direzione del giunto successivo, e si interseca con Z_{n-1} in corrispondenza del centro del giunto i-1 (scelto come origine); l'asse X_n corre lungo la normale comune fra gli assi Z_{n-1} e Z_n;
  • gli assi Y_{n-1} e Y_n sono scelti in modo da completare le rispettive terne levogire.

La trasformazione è allora descritta da quattro parametri di Denavit-Hartenberg[1]:

  • d: distanza dell'asse Z_{n-1} dalla normale comune; nel caso vi siano infinite normali comuni (assi Z_n e Z_{n-1} paralleli) si sceglierà il valore di d più conveniente;
  • \theta: l'angolo di rotazione intorno all'asse Z_{n-1} necessario per allineare X_{n-1} con X_n;
  • a (a volte indicato anche con r): distanza minima fra gli assi Z_{n-1} e Z_n;
  • \alpha: l'angolo di rotazione intorno alla normale comune per allineare gli assi Z_{n-1} e Z_n.


Si può notare che l'asse X_n è perpendicolare sia all'asse Z_{n-1} che all'asse Z_n e interseca entrambi.

Trasformazione di coordinate[modifica | modifica wikitesto]

Ogni coppia braccio-giunto si può descrivere come un'operazione di trasformazione di coordinate fra i due sistemi di riferimento associati ai giunti. Se si sceglie di orientare l'asse X_n lungo la normale comune fra gli assi Z_{n-1} e Z_n, la matrice di trasformazione è definita come una serie di due rototraslazioni consecutive:

{}^{n - 1}T_n
  = \operatorname{Trans}_{z_{n - 1}}(d_n) \cdot
    \operatorname{Rot}_{z_{n - 1}}(\theta_n) \cdot
    \operatorname{Trans}_{x_n}(r_n) \cdot
    \operatorname{Rot}_{x_n}(\alpha_n)

dove:

\operatorname{Trans}_{z_{n - 1}}(d_n)
  = \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & d_n \\
    0 & 0 & 0 & 1 \\
  \end{pmatrix}
\operatorname{Rot}_{z_{n - 1}}(\theta_n)
  = \begin{pmatrix}
    \cos\theta_n & -\sin\theta_n & 0 & 0 \\
    \sin\theta_n &  \cos\theta_n & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \\
  \end{pmatrix}
\operatorname{Trans}_{x_n}(r_n)
  = \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 & r_n \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \\
  \end{pmatrix}
\operatorname{Rot}_{x_n}(\alpha_n)
  = \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & \cos\alpha_n & -\sin\alpha_n & 0 \\
    0 & \sin\alpha_n & \cos\alpha_n & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \\
  \end{pmatrix}

Da qui si ricava la matrice di trasformazione completa:

\operatorname{}^{n - 1}T_n
  = \begin{pmatrix}
    \cos\theta_n & -\sin\theta_n \cos\alpha_n & \sin\theta_n \sin\alpha_n & r_n \cos\theta_n \\
    \sin\theta_n & \cos\theta_n \cos\alpha_n & -\cos\theta_n \sin\alpha_n & r_n \sin\theta_n \\
    0 & \sin\alpha_n & \cos\alpha_n & d_n \\
    0 & 0 & 0 & 1 \\
  \end{pmatrix}

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ M. Spong, M. Vidyasagar, Robot Dynamics and Control, John Wiley and Sons, 1989, ISBN 0-471-61243-X.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Jacques Denavit, Richard S. Hartenberg, A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices in Trans ASME J. Appl. Mech, nº 23, 1955, pp. 215-221.
  • (EN) Jacques Denavit, Richard S. Hartenberg, Kinematic synthesis of linkages, New York, McGraw-Hill, 1964. URL consultato il 20 dicembre 2010.
  • Bruno Siciliano, Lorenzo Sciavicco; Luigi Villani; Giuseppe Oriolo, Robotica – Modellistica, pianificazione e controllo, 3ª ed., Milano, McGraw-Hill, 2008, ISBN 978-88-386-6322-2.

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