Cerchio di Apollonio

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La costruzione geometrica del cerchio di Apollonio

Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Talora viene chiamato con questo nome uno qualunque dei cerchi che risolve il problema di Apollonio.

Il nome deriva da Apollonio di Perga, geometra e astronomo greco, che per primo dimostrò che il luogo descritto era una circonferenza; tale proprietà può in effetti essere usata come definizione alternativa di circonferenza.

Equazione cartesiana[modifica | modifica wikitesto]

Fissiamo due punti A e B, in modo che A coincida con l'origine degli assi e B sia posto a distanza d da esso. Un generico punto P del cerchio di Apollonio è caratterizzato dalla relazione:

\frac{AP}{BP} = k,

dove k è una costante positiva. Traducendo le distanze in coordinate cartesiane si ha

\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{\left ( x - d \right )^2 + y^2}} = k,

che elevando al quadrato e semplificando i denominatori diventa

x^2 + y^2 = k^2 \left ( x - d \right )^2 + k^2y^2.

Riorganizzando l'equazione e normalizzando i coefficienti di secondo grado si ottiene l'equazione della circonferenza in forma canonica:

x^2 + y^2 - \frac{2k^2d}{\left ( k^2 - 1 \right)} x + \frac{k^2d^2}{\left ( k^2 - 1 \right)} = 0.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Dall'equazione cartesiana sopra riportata è possibile dedurre alcune proprietà del cerchio di Apollonio:

  • il centro del cerchio è posto in C \left ( \frac{k^2}{k^2 - 1} d, 0 \right ), e si trova sempre sul prolungamento del segmento AB;
  • il raggio del cerchio vale \frac{kd}{k^2 - 1};
  • per k = 1 il cerchio di Apollonio degenera nell'asse del segmento AB; per k > 1 il cerchio contiene il punto B; per 0 < k < 1 il cerchio contiene il punto A;
  • quando il rapporto tra le distanze è uguale alla sezione aurea, il cerchio ha raggio pari alla lunghezza del segmento AB.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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