Altezza (geometria)

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In geometria, l'altezza indica primariamente nel triangolo la distanza, misurata ortogonalmente, da uno dei vertici del lato opposto (o del suo prolungamento).

Lo stesso termine viene anche usato per intendere in modo analogo la distanza fra due lati paralleli in alcuni poligoni (trapezio, quadrato, parallelogramma), e di due facce parallele nei parallelepipedi, ma anche la distanza del vertice dalla base (geometria).

L'uso preminente dell'altezza è quello di facilitare il calcolo delle aree o dei volumi proprio per la sua ortogonalità con la base che ne permette una facile moltiplicazione con queste per il calcolo della grandezza ricercata.

[modifica] Triangolo

Per approfondire, vedi la voce ortocentro.

In ogni triangolo sono presenti tre altezze, ognuna relativa ad uno specifico vertice, e vengono misurate perpendicolarmente, lungo l'unico segmento che interseca la retta su cui giace il lato opposto formando con questa un angolo retto disegnando così il più breve tragitto tra il vertice e la retta; difatti il segmento corrispondente è anche la ceviana più corta ottenibile. Nella nomenclatura classica l'altezza tra il vertice A e il lato opposto a è solitamente indicata con h_a e il punto di intersezione col lato come H_a

Le altezze di un triangolo dunque non sono sempre interne: sono tutte e tre entro il perimetro se il triangolo è acutangolo; due giacenti sul perimetro stesso se rettangolo (cioè due corrispondono ai cateti e la terza - quella dell'ipotenusa - è interna) e invece sono due esterne, cioè fuori dall'area perimetrale, se il triangolo è ottusangolo, con la terza corrispondente del lato maggiore sempre interna, le altre due intersecanti i prolungamenti degli altri due lati.
A riguardo vi è da dire che le altezze (o le loro rette) sono sempre concorrenti in un unico punto detto ortocentro, il quale si trova direttamente se le altezze sono tutte interne, necessità invece si essere trovato mediante prolungamenti se sono invece esterne.

[modifica] Formulario

$\begin{align} h_i & = \frac{2\Delta}{l_i} \\ & = \frac{\sqrt{2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) - (a^4 + b^4 + c^4)}}{2l_i} = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{2l_i} \\ & = l_j \sin{\omega_K} \end{align}$

Δ è l'area del triangolo; l_x il lato generico e ω_x l'ampiezza dell'angolo

[modifica] Trapezio

L'altezza di un trapezio è definita come un segmento che congiunge base maggiore e base minore e perpendicolare alle due basi. Un trapezio, a differenza del triangolo, ha quindi infinite altezze che hanno tutte la stessa misura.