Hiroshi Yoshida (artista): differenze tra le versioni
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Un '''problema di Riemann''', così chiamato dal nome del [[Matematica|matematico]] e [[fisica|fisico]] [[Germania|tedesco]] [[Bernhard Riemann]], è un [[problema di Cauchy|problema ai valori iniziali]] che consiste in una [[legge di conservazione]] e da una condizione iniziale composta da due stati costanti separati da una singola discontinuità. |
Un '''problema di Riemann''', così chiamato dal nome del [[Matematica|matematico]] e [[fisica|fisico]] [[Germania|tedesco]] [[Bernhard Riemann]], è un [[problema di Cauchy|problema ai valori iniziali]] che consiste in una [[legge di conservazione]] e da una condizione iniziale composta da due stati costanti separati da una singola discontinuità.<ref>{{Cita libro |titolo= Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics|autore= Eleuterio F. Toro|editore= Springer|città=Berlino|anno= 2009|lingua= en|edizione= 3|capitolo=The Riemann Problem|pp=49-50|ISBN= 978-3-540-25202-3}}</ref> |
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Il problema di Riemann è particolarmente utile alla comprensione e risoluzione di [[equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica|sistemi iperbolici]] come le [[equazioni di Eulero (fluidodinamica)|equazioni di Eulero]], poiché alcune proprietà come le onde di shock e di rarefazione, analizzabili nel contesto di un problema di Riemann, compaiono naturalmente nella loro soluzione sotto forma di [[metodo delle caratteristiche|caratteristiche]]. |
Il problema di Riemann è particolarmente utile alla comprensione e risoluzione di [[equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica|sistemi iperbolici]] come le [[equazioni di Eulero (fluidodinamica)|equazioni di Eulero]], poiché alcune proprietà come le onde di shock e di rarefazione, analizzabili nel contesto di un problema di Riemann, compaiono naturalmente nella loro soluzione sotto forma di [[metodo delle caratteristiche|caratteristiche]]. |
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== Il problema di Riemann in gasdinamica == |
== Il problema di Riemann in gasdinamica == |
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Come esempio si investigano le proprietà del problema di Riemann monodimensionale applicato alla gasdinamica. Esso è costituito dalle leggi linearizzate della dinamica dei gas (in cui <math>\rho \left( x,t \right)</math> e <math>u \left( x,t \right)</math> sono rispettivamente la densità e la velocità delle particelle del gas, e si assume <math>a \ge 0</math> senza perdita di generalità): |
Come esempio si investigano le proprietà del problema di Riemann monodimensionale applicato alla gasdinamica.<ref>{{Cita libro |titolo= Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics|autore= Eleuterio F. Toro|editore= Springer|città=Berlino|anno= 2009|lingua= en|edizione= 3|capitolo=The Riemann Problem for Linearised Gas Dynamics|pp=58-59|ISBN= 978-3-540-25202-3}}</ref> Esso è costituito dalle leggi linearizzate della dinamica dei gas (in cui <math>\rho \left( x,t \right)</math> e <math>u \left( x,t \right)</math> sono rispettivamente la densità e la velocità delle particelle del gas, <math>\rho_0</math> è un valore di densità di riferimento e si assume <math>a \ge 0</math> senza perdita di generalità): |
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== Bibliografia == |
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* {{Cita libro |titolo= Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics|autore= Eleuterio F. Toro|editore= Springer|città=Berlino|anno= 2009|lingua= en|edizione= 3|ISBN= 978-3-540-25202-3}} |
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* {{Cita libro |titolo= Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems|autore= Randall J. LeVeque|editore= Cambridge University Press|città=Cambridge|anno= 2002|lingua= en|ISBN= 978-0-521-00924-9}} |
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== Voci correlate == |
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* [[Analisi numerica]] |
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* [[Fluidodinamica]] |
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* [[Fluidodinamica computazionale]] |
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* [[Gasdinamica]] |
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[[Categoria:Analisi numerica]] |
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[[Categoria:Fluidodinamica]] |
Versione delle 12:01, 30 set 2016
Un problema di Riemann, così chiamato dal nome del matematico e fisico tedesco Bernhard Riemann, è un problema ai valori iniziali che consiste in una legge di conservazione e da una condizione iniziale composta da due stati costanti separati da una singola discontinuità.[1] Il problema di Riemann è particolarmente utile alla comprensione e risoluzione di sistemi iperbolici come le equazioni di Eulero, poiché alcune proprietà come le onde di shock e di rarefazione, analizzabili nel contesto di un problema di Riemann, compaiono naturalmente nella loro soluzione sotto forma di caratteristiche.
In analisi numerica, i problemi di Riemann figurano all'interno dei metodi numerici dei volumi finiti: per questo sono ampiamente usati in gasdinamica e fluidodinamica computazionale, nell'ambito delle quali i problemi di Riemann vengono risolti per mezzo di appositi solutori.
Il problema di Riemann in gasdinamica
Come esempio si investigano le proprietà del problema di Riemann monodimensionale applicato alla gasdinamica.[2] Esso è costituito dalle leggi linearizzate della dinamica dei gas (in cui e sono rispettivamente la densità e la velocità delle particelle del gas, è un valore di densità di riferimento e si assume senza perdita di generalità):
corredate dalla seguente condizione iniziale:
Il punto separa i due differenti stati iniziali, definiti sinistro e destro rispettivamente. Il sistema di equazioni differenziali può essere riscritto in forma conservativa:
- :
dove
e il pedice indica la derivazione parziale rispetto a o .
Gli autovalori della matrice , e , rappresentano le velocità di propagazione delle onde all'interno del mezzo. La struttura del problema di Riemann in esame consiste quindi in due impulsi che si propagano a partire dall'origine del sistema di riferimento(), il primo con velocità pari a , il secondo con velocità pari ad . Nel piano cartesiano queste onde seguono le cosiddette curve caratteristiche del sistema, che in questo caso sono due rette di pendenza pari a e : e . A sinistra della caratteristica si conserva lo stato iniziale sinistro ; a destra della caratteristica si mantiene lo stato iniziale destro . Nel dominio compreso tra le due caratteristiche si genera uno stato costante incognito .
Gli autovettori corrispondenti a e sono
e rispetto a questi possono essere decomposti gli stati iniziali: per qualche valore di , , , si può quindi scrivere
La soluzione incognita si ottiene infine in funzione degli stati iniziali:
e la soluzione completa (costante a tratti) del problema di Riemann nel dominio è:
Note
- ^ (EN) Eleuterio F. Toro, The Riemann Problem, in Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, 3ª ed., Berlino, Springer, 2009, pp. 49-50, ISBN 978-3-540-25202-3.
- ^ (EN) Eleuterio F. Toro, The Riemann Problem for Linearised Gas Dynamics, in Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, 3ª ed., Berlino, Springer, 2009, pp. 58-59, ISBN 978-3-540-25202-3.
Bibliografia
- (EN) Eleuterio F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, 3ª ed., Berlino, Springer, 2009, ISBN 978-3-540-25202-3.
- (EN) Randall J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 978-0-521-00924-9.