Qualunquone

In fisica il qualunquone (in inglese anyon) è un tipo di quasiparticella che esiste in sistemi bidimensionali ed è la generalizzazione del concetto di fermione e bosone, infatti lo scambio di due particelle di questo tipo può portare a una variazione della fase globale ma non coinvolge le osservabili del sistema. I qualunquoni possono dividersi in abeliani e non abeliani: i primi sono stati rivelati e ricoprono un ruolo importante nell'effetto Hall quantistico frazionario, mentre i secondi non sono ancora stati trovati con certezza nonostante vi sia un'area di ricerca molto attiva in questo settore.

Qualunquoni abeliani

In uno spazio a tre o più dimensioni, le particelle indistinguibili possono essere solo fermioni o bosoni in base alla loro distribuzione statistica: i fermioni seguono la cosiddetta statistica di Fermi-Dirac, mentre i bosoni quella di Bose-Einstein. In meccanica quantistica questa distinzione viene espressa tramite il comportamento di uno stato a più particelle quando vengono scambiate le loro posizioni: utilizzando la notazione di Dirac in uno stato a due particelle si ottiene:

$\left\vert \psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =\pm \left\vert \psi _{2}\psi _{1}\right\rangle$

dove il primo elemento all'interno di $\left\vert \dots \right\rangle$ indica lo stato della prima particella, mentre il secondo indica lo stato della seconda particella. Pertanto a destra dell'uguaglianza si ha che la prima particella si trova nello stato $\psi _{1}$, mentre la seconda è nello stato $\psi _{2}$, invece a sinistra dell'uguale si ha che la prima particella è nello stato $\psi _{2}$, mentre la seconda è in $\psi _{1}$. Nella precedente equazione il segno $+$ si utilizza nel caso che le due particelle siano bosoni, mentre il $-$ si usa nel caso dei fermioni.

In sistemi bidimensionali possono essere invece osservate delle quasiparticelle che obbediscono a una statistica che varia con continuità tra la statistica di Fermi-Dirac e quella di Bose-Einstein e questo fenomeno è stato osservato per la prima volta da Jon Magne Leinaas e Jan Myrheim nel 1977. Riprendendo il caso precedente, la formulazione quantistica di questa statistica intermedia può essere scritta come:

$\left\vert \psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left\vert \psi _{2}\psi _{1}\right\rangle$

dove $i$ è l'unità immaginaria e $\theta$ è un numero reale. Ricordando che $\vert e^{i\theta }\vert =1$, $e^{2i\pi }=1$ e $e^{i\pi }=-1$, nel caso si abbia $\theta =\pi$ si ritorno al caso della statistica di Fermi-Dirac (con il segno meno), mentre nel caso si abbia $\theta =0$ si ritorna al caso della statistica di Bose-Einstein. Con un valore intermedio di $\theta$ si è in presenza di una situazione intermedia in cui la fase dello stato quantistico successivo allo scambio di particelle ha una fase qualunque diversa dai casi precedenti; essa è stata chiamata "qualunquone" (anyon in inglese) da Frank Wilczek.

È possibile usare come valore $\theta =2\pi s$, dove $s$ è il numero di spin della particella che può essere un numero intero per i bosoni o semintero per i fermioni; in questo modo si ottiene:

$e^{i\theta }=e^{2i\pi s}=(-1)^{2s}$   o   $\left\vert \psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =(-1)^{2s}\left\vert \psi _{2}\psi _{1}\right\rangle$

L'effetto Hall quantistico porta sui bordi ad avere qualunquoni confinati in una sola dimensione e i modelli matematici di queste particelle in una dimensione forniscono una base delle relazioni di commutazione mostrate in precedenza.

Così come le funzioni d'onda dei fermioni e dei bosoni nello spazio a tre dimensioni sono rappresentazioni monodimensionali del gruppo delle permutazioni ($S_{N}$ di $N$ particelle indistinguibili), le funzioni d'onda dei qualunquoni in uno spazio a due dimensioni sono rappresentazioni del gruppo di trecce ($B_{N}$ di $N$ particelle indistinguibili). Va notato che la statistica dei qualunquoni non deve essere confusa con la parastatistica che descrive la statistica di particelle le cui funzioni d'onda sono rappresentazioni a più dimensioni del gruppo di permutazione.

Esperimenti

Daniel Tsui e Horst Störmer scoprirono nel 1982 l'effetto Hall quantistico frazionario, mentre fu Bertrand Halperin, grazie agli sviluppi teorici di Leinaas e Myrheim, a spiegare gli aspetti di questo fenomeno. Frank Wilczek, Dan Arovas e John Robert Schrieffer riuscirono a dimostrare nel 1985 con un calcolo esplicito che le particelle presenti in questo sistema erano qualunquoni.

Nel 2005 un gruppo di fisici della Stony Brook University costruì un interferometro quasiparticellare e rivelò pattern di interferenza di qualunquoni i quali sembravano indicare che queste particelle fossero reali piuttosto che essere soltanto un costrutto matematico.

Con lo sviluppo delle tecnologie a semiconduttori è stato possibile realizzare la deposizione di strati sottili bidimensionali (come ad esempio il grafene), perciò in futuro sarà possibile indagare il possibile utilizzo dei qualunquoni in ambito elettronico.

Qualunquoni non abeliani

Gregory Moore e Nicholas Read hanno sviluppato un formalismo in cui lo scambio di particelle non sarebbe rappresentato da una semplice fase complessa, ma da una matrice: in questo caso si ha a che fare con qualunquoni non abeliani. Mentre all'inizio queste particelle erano considerato come una semplice curiosità matematica, con il passare del tempo i fisici iniziarono a cercare queste particelle dopo che Aleksej Kitaev mostrò che esse possono essere usate per costruire un computer quantistico topologico. Al 2012 nessun esperimento ha confermato in maniera chiara l'esistenza di qualunquoni non abeliani sebbene vi siano studi sullo stato ν = 5/2 dell'effetto Hall quantistico frazionario in cui sembrano emergere queste particelle.