Metodi reticolari di Boltzmann

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I metodi reticolari di Boltzmann, meglio conosciuti come metodi lattice Boltzmann (LBM) sono un insieme di tecniche di fluidodinamica computazionale (CFD) usato per la simulazione dei fluidi. Invece di risolvere le equazioni di Navier-Stokes, l' equazione di Boltzmann viene risolta per simulare il flusso di un fluido newtoniano mediante modelli di collisione, come ad esempio il metodo Bhatnagar-Gross-Krook (BGK). Simulando l'interazione di un limitato numero di particelle, il comportamento del flusso viscoso emerge automaticamente dal movimento intrinseco delle particelle stesse e dai processi di collisione che ne conseguono.

Algoritmo

L' LBM e' una tecnica di simulazione relativamente nuova per sistemi fluidodinamici complessi ed ha attirato l'interesse dei ricercatori che utilizzano la fisica computazionale. Al contrario dei tradizionali metodi, che risolvono numericamente le equazioni di conservazione di proprietà macroscopiche (come la massa, il momento e l'energia), nei modelli lattice Boltzmann il fluido e' costituito da particelle fittizie, e queste particelle operano consecutivamente processi di propagazione e collisione, spostandosi su una griglia reticolare discreta. A causa di questa natura particellare e dei processi dinamici locali, gli LBM hanno diversi vantaggi in piu' rispetto ai convenzionali metodi CFD, specialmente se si trattano bordi complessi, se si aggiungono interazioni microscopiche e se si parallelizza l'algoritmo. Una diversa interpretazione dell'equazione di Boltzmann e' l'equazione di Boltzmann con velocita' discreta. I metodi numerici per la soluzione del sistema di equazioni differenziali parziali genera in questo caso una mappa discreta, che puo' essere interpretata come le propagazioni e le collisioni delle particelle fittizie.

Evoluzione dai metodi LGA

Gli LBM sono una derivazione del metodo lattice gas automata (LGA), che puo' essere considerato un modello semplificato di dinamiche molecolari fittizie nel quale spazio, tempo, e velocita' delle particelle sono tutti valori discreti. Ogni nodo del reticolo e' collegato ai suoi vicini tramite 6 velocita' reticolari, tramite ad esempio il modello esagonale FHP. Ci possono essere 0 o 1 particella per nodo che si spostano seguendo una direzione reticolare. Dopo un intervallo di tempo, ogni particella si spostera' sul nodo vicino, a seconda della propria direzione: questo processo viene chiamato passo di propagazione o di streaming. Quando sullo stesso nodo arriva piu' di una particella da direzioni diverse, queste collidono e cambiano le loro direzioni in base ad un insieme di regole di collisione. Regole di collisione appropriate dovrebbero conservare il numero di particelle (cioe' la massa), il momento e l'energia prima e dopo la collisione. Tuttavia, si e' constatato che i LGA soffrono di diversi difetti intrinseci: perdita di relatività galileiana, rumore statistico, complessita' esponenziale per reticoli tridimensionali, eccetera.

Il motivo principale della transizione dagli LGA ai LBM e' stato il desiderio di rimuovere il rumore statistico sostituendo il numero booleano delle particelle in una direzione del reticolo con la sua media totale, la cosiddetta funzione di distribuzione di densita'. Oltre a questa sostituzione, la regola di collisione discreta viene sostituita da una funzione continua conosciuta come operatore di collisione. Nell'evoluzione dei LBM, un'importante semplificazione e' stata quella di approssimare l'operatore di collisione con il termine di rilassamento di Bhatnagar-Gross-Krook (BGK). Questo modello di BGK reticolare (lattice BGK, LBGK) rende le simulazioni piu' efficienti e permette la flessibilita' dei coefficienti di trasporto. D'altra parte, e' stato dimostrato che lo schema LBM puo' essere anche considerato come una speciale forma discretizzata dell'equazione continua di Boltzmann. Attraverso l' analisi di Chapman-Enskog, dall'algoritmo LBM si possono ricavare la continuita' dirigente e le equazioni di Navier-Stokes . Inoltre, anche il valore della pressione e' direttamente derivabile dalle distribuzioni di densita' e quindi non si presentano ulteriori equazioni di Poisson da risolvere, come nei tradizionali metodi CFD.

Tipi di reticoli e classificazione DnQm

I modelli lattice Boltzmann possono operare su diversi tipi di reticoli, sia cubici che triangolari, con o senza particelle rimanenti nella funzione di distribuzione discreta.

Un modo tipico per classificare i differenti metodi che utilizzano un reticolo e' lo schema DnQm. "Dn" significa "n dimensioni" mentre "Qm" significa "m velocita'". Ad esempio, D3Q15 e' un modello lattice Boltzmann tridimensionale su una griglia cubica, con particelle rimanenti. Ogni nodo ha la forma di un cristallo, e puo' inviare particelle ad ognuno dei sei nodi vicini che ne condividono la superficie, agli otto nodi vicini che ne condividono fli spigoli, e a se stesso. (Il modello D3Q15 non considera particelle che si spostano verso i dodicesimi nodi vicini che condividono un lato; aggiungendo a che questi si otterrebbe un modello "D3Q27".)

Quantita' reali come lo spazio ed il tempo devono essere convertite in unita' reticolari prima della simulazione. Quantita' non-dimensionali come i numeri di Reynolds rimangono invece uguali.

Collegamenti esterni

• LBMethod.org: Sito web con diverse risorse sgli LBM, con annesso forum.
• LBM Method
• Riassunto sui metodi lattice Boltzmann
• Mailing list su lattice Boltzmann
• Sito web of the annual DSFD conference series (1986 -- now) at which the theory and application the lattice Boltzmann method is discussed
• Website of the annual ICMMES conference on Lattice Boltzmann methods and their applications

Ulteriori letture

• Succi, Sauro, The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond, Oxford University Press, 2001, ISBN 0198503989.
• Wolf-Gladrow, Dieter, Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models, Springer Verlag, 2000, ISBN 9783540669739.
• Sukop, Michael C. and Daniel T. Thorne, Jr., Lattice Boltzmann Modeling: An Introduction for Geoscientists and Engineers, Springer, 2007, ISBN 9783540279815.
• Jian Guo Zhou, Lattice Boltzmann Methods for Shallow Water Flows, Springer, 2004, ISBN 3540407464.