Equazione di Boltzmann

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L'equazione di Boltzmann, conosciuta anche come equazione di Boltzmann per il trasporto, formulata da Ludwig Boltzmann, descrive la distribuzione statistica delle particelle in un fluido. È una delle equazioni più importanti della meccanica statistica di non equilibrio, la branca della meccanica statistica che si occupa dei sistemi non approssimabili all'equilibrio termodinamico; per esempio, quando vi è applicazione di un gradiente di temperatura o di un campo elettrico. L'equazione di Boltzmann si usa per studiare come un fluido trasporta quantità fisiche come il calore e la carica, e derivare così le proprietà di trasporto come la conducibilità elettrica, la conduttività di Hall, la viscosità, e la conducibilità termica.

Sviluppo dell'equazione[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di avere un gas rarefatto di N particelle racchiuso in un volume V in cui ogni particella è sottoposta ad una forza. Il problema della conoscenza dell'evoluzione temporale di un gas è legato alla conoscenza dei vettori posizione spaziale e velocità per ogni singola molecola del gas. Questo approccio è improponibile se si pensa che un gas può avere una densità di particelle di 1019 per ogni cm3. Per questo motivo si introduce la funzione di distribuzione f che permette non soltanto di conoscere il moto di una singola particella, ma anche quante molecole in un certo istante hanno determinati valori di velocità o energia. In questo senso si può scrivere che

	\iint_{-\infty}^{\infty} f(r;v;t)\, dr^3\,dv^3 = N

ovvero l'integrale esteso all'infinito per la posizione e per la velocità è pari al numero totale di particelle N. Si può quindi scrivere la variazione temporale della funzione di distribuzione come la somma:

\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)|_\mathrm{diffusione}+\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)|_\mathrm{collisioni}

ovvero la somma di un termine diffusivo e di un termine dovuto alla collisione. Il termine diffusivo è quello che tiene in considerazione il movimento delle particelle dovuto alla forza F applicata dall'esterno, mentre il termine di collisione prende in considerazione le forze interne ovvero quelle dovute alla collisione tra le particelle. Andando a calcolare separatamente i due termini si trova l'equazione di Boltzmann.
Per quanto riguarda il termine dovuto al processo diffusivo, lo si può pensare come un flusso continuo che quindi verifica l'equazione di Gauss. Per questo si può scrivere \left(\frac{\partial f_d}{\partial t}\right)+\partial_\mu(f V_\mu)=0

da cui con semplici passaggi è possibile ricavare la forma esplicita del termine diffusivo:

\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)|_\mathrm{diffusione}+ \vec{v} \cdot \nabla_\vec{r} f +\frac{\vec{F}}{m}\cdot \nabla_\vec{v}f =0

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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