Utente:Ssisemma/prova3

L'Introductio in Analysin Infinitorum viene pubblicata in latino nel 1748 in due volumi ed è il più celebre manuale di analisi di Eulero.

Contenuto

Primo Volume

L'opera inizia con la definizione di funzione di una quantità variabile come una qualsiasi espressione analitica formata da quella quantità variabile e da numeri o quantità costanti. Questa definizione era stata anticipata dalla dottrina medioevale della latitudo formarum o latitudine delle forme, ed era già implicita nella geometria analitica di Fermat e Descartes, oltre che nel calcolo infinitesimale di Newton e Leibniz. Le funzioni algebriche e le funzioni trascendenti elementari vengono infatti definite e classificate nei paragrafi successivi del capitolo I, insieme alla definizione delle funzioni a più variabili. Segue la trattazione delle trasformazioni di funzioni (anche per sostituzione) nei capitoli II e III per arrivare al capitolo IV in cui inizia ad essere trattato ciò che rappresenta il cuore del I volume, ovvero i procedimenti infiniti: sviluppi di funzioni in serie infinite, tra cui occupano ampio spazio le funzioni esponenziali e logaritmica con le loro proprietà (capitoli VI e VII), seno e coseno (capitoli VIII, X, XI, XIV), esempi di serie infinite, prodotti infiniti (capitolo XV) e frazioni continue infinite (capitolo XVIII). Da questo punto di vista l’opera rappresenta la naturale generalizzazione delle concezioni di Newton, di Leibniz e dei Bernoulli, matematici che si erano occupati delle serie infinite. Nel capitolo VII, paragrafo 125 compare la nota espressione

$e^{z}=\left(1+{\frac {z}{j}}\right)^{j}$

ove j è un numero infinitamente grande. Oggi usiamo la scrittura con il limite per $j\rightarrow +\infty$. Viene, inoltre, codificata in larga misura la trattazione rigorosamente analitica delle funzioni trigonometriche. Il seno non è più un segmento, ma semplicemente un numero o un rapporto: l’ordinata di un punto del cerchio di raggio unitario, avente il centro nell’origine di un sistema di coordinate cartesiane; oppure il numero definito dalla serie

$z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+\ldots$

per un valore di z. Dagli sviluppi in serie di $e^{z}$, $\sin z$, $\cos z$, l’autore ricava la Formula di Eulero:

$e^{z{\sqrt {-1}}}=\cos z+{\sqrt {-1}}\sin z$

relazione già nota a Cotes e De Moivre ma che con Eulero diventa strumento di uso comune nell’analisi. Inoltre ponendo $x=\pi$ ricava:

$e^{i\pi }-1=0$

la famosa Identità di Eulero che lega i cinque numeri più significativi di tutta la matematica. Nel campo dei logaritmi il contributo di Eulero consiste nell’averli definiti in termini di esponenti nel capitolo IV, definizione che usiamo tutt’oggi, e anche nell’aver avuto l’intuizione esatta riguardo ai logaritmi di numeri negativi (capitolo X), che non sono dunque reali, come era ritenuto prima di allora, ma immaginari puri (all’epoca era aperto un grande dibattito in materia). Nel capitolo XV sono presenti numerosi esempi di prodotti infiniti relativi a serie in cui Eulero considera sempre il simbolo $\infty$ come il reciproco del numero 0.

Secondo Volume

Eulero illustra in maniera ampia e sistematica la geometria analitica, si rende infatti conto dell’importanza di ottenere risultati generali, tanto che la discussione sulle coniche, fino ad allora utilizzata come punto di partenza per la trattazione della geometria analitica, viene presentata in una teoria generale sulle curve che può essere applicata all’analisi della natura di una curva qualsiasi. Inoltre Eulero basa tale studio sul concetto di funzione: Nonostante molte curve possano essere descritte meccanicamente come un punto che si sposta con movimento continuo, […], considereremo queste curve come aventi origine in funzioni, poiché così saranno più adatte per una trattazione analitica e al calcolo. Ogni funzione di x dà una curva oppure una retta, e viceversa una curva può definire una funzione (capitolo I, paragrafo 8). Distingue le curve in continue e discontinue (capitolo I, paragrafo 9), algebriche e trascendenti (capitolo I, paragrafo 15), poiché, riconducendo la conoscenza di curve a quella di funzioni, ci sono tanti tipi di curve quante sono le funzioni. Definisce un sistema di coordinate ortogonali e nel II capitolo tratta il cambio di coordinate: illustra le trasformazioni dalle coordinate ortogonali alle coordinate polari. Eulero sostiene che non c’è modo di ottenere una qualsiasi conoscenza delle curve senza un’opportuna suddivisione in classi. Una prima distinzione si ha tra curve algebriche e trascendenti. Limitando l’analisi alle curve algebriche (le curve trascendenti vengono trattate solamente nel capitolo XXI, nel quale, oltre alla curva dei logaritmi e delle funzioni trigonometriche, descrive la cicloide, i vari generi di spirali…), Eulero ne effettua una classificazione in base al grado dell'equazione, poiché invariante per cambio di coordinate. Il capitolo IV si apre con il problema della molteplicità di intersezione di una curva di qualsiasi ordine con una retta, poiché questa informazione fornisce un’idea sulla natura delle curve dei vari ordini, e, anche se non ci permette di determinare a quale ordine una curva appartenga, arriva però a dire che una curva di ordine n non può intersecare una retta in più di n punti. Eulero affronta dunque lo studio delle curve con un approccio sistematico e della massima generalità possibile.

Breve commento

L’opera segna una svolta fondamentale nella storia della matematica e costituisce una fonte di sviluppo per tutta la seconda metà del 1800. Eulero tratta per la prima volta in questo testo il calcolo differenziale e il metodo delle flussioni come parti di una branca più generale della matematica che, da allora, è nota con il nome di analisi. La notazione matematica introdotta da Eulero è quella che ancor oggi viene utilizzata. In particolare, mentre la notazione f(x), usata per indicare una funzione di x, era già nota , le abbreviazioni sin, cos, tan, cot, sec, e cosec, usate da Eulero nel testo latino presentano una maggiore affinità con le attuali forme che non con le corrispondenti abbreviazioni usate ai tempi. Per quanto riguarda l’uso delle serie infinite, viene contestato ad Eulero di non utilizzare le cautele necessarie nell’impiego di tali oggetti. Ad esempio considera la serie binomiale

${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+...$

anche per valori $x\leq 1$.

Il contributo più significativo di Eulero alla geometria è forse costituito da una lunga e sistematica appendice all’Introductio: essa rappresenta infatti la prima esposizione manualistica della geometria analitica solida. Le superfici, sia algebriche sia trascendenti, vengono considerate dapprima in generale e poi suddivise in categorie. Troviamo qui, indubbiamente per la prima volta, il concetto che le superfici di secondo grado costituiscono una famiglia di quadriche nello spazio analoghe alle sezioni coniche della geometria piana.

Tutti i risultati presentati da Eulero si basano solamente sull’algebra ordinaria, anziché il calcolo differenziale (come era di moda all'epoca) e lo stesso Eulero osserva che l’esposizione risulta più complicata e la comprensione più difficoltosa, anche perché, molti argomenti già noti, vengono risolti in maniera differente.

Collegamenti esterni

• Identità di Eulero Wikipedia inglese
• Formula di Eulero Wikipedia inglese

Bibliografia

• L. Euler, Introduction to Analysis of the Infinite, book I, Springer-Verlag, New York (1988).
• L. Euler, Introduction to Analysis of the Infinite, book II, Springer-Verlag, Berlino (1990).
• C.B. Boyer, Storia della Matematica, Arnoldo Mondadori Editore, Milano (1990).
• C.B. Boyer, History of Analytic Geometry, Scripta Matematica, New York (1956).