Utente:SSISMAAM/Metodi di "falsa posizione"

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Il metodo ‘regula falsi’

Il metodo ‘regula falsi’ è un metodo algoritmico per la risoluzione di problemi algebrici riconducibili ad equazioni o sistemi d'equazioni lineari. Lo introduciamo così come viene proposto da Fibonacci nella terza parte del capitolo 12 del Liber Abaci, analizzando in particolare il problema dell'albero e il problema del denaro suddiviso tra due o tre uomini.

Soluzione di equazioni lineari

Supponiamo di voler determinare l'altezza h di un albero i cui 7/12 si trovano nel sottosuolo e corrispondono a 21 palmi. Applicando direttamente il metodo delle proporzioni, basta osservare che, se 7/12 dell'altezza totale sono 21 palmi, allora

$7:21=12:h\;$

(1.1)

dalla regola del quarto proporzionale,

$h={\frac {21\cdot 12}{7}}=36$

palmi.

Questo procedimento per determinare h è quello che a noi sembrerebbe più ovvio. Mostriamo ora un altro metodo per stabilire il valore di h: il così detto ‘regula falsi’ o metodo di ‘falsa posizione semplice’. Assegniamo al valore cercato, in questo caso l'altezza h, una ‘falsa posizione’, cioè un qualunque numero intero scelto arbitrariamente e valutiamo la proporzione che si ricava da tale ‘posizione’.

Se consideriamo (7/12) h, supponiamo che h sia un qualunque numero intero $h_{fp}$ divisibile per 12, ad esempio $h_{fp}=24$, da cui si ottiene come approssimazione

${\frac {7}{12}}\,h_{fp}=14$

Da questa relazione, poiché ci chiediamo quale sia il valore di h affinchè i suoi 7/12 siano pari a 21, ricaviamo la seguente proporzione

$14:21=24:h\;$

(1.2)

cioè l'approssimazione sta al valore noto, come la ‘falsa posizione’ $h_{fp}$ sta alla soluzione esatta h. Applicando la regola del quarto proporzionale, si riottiene così

$h={\frac {21\cdot 24}{14}}=36$

palmi.

Osserviamo che anche con il metodo ‘regula falsi’ si utilizza la regola del quarto proporzionale, ma applicata ad una proporzione diversa dalla (1.1) ottenuta direttamente dai dati iniziali del problema. La (1.2) può essere generalizzata come

$a:v=fp:s\;$

(1.3)

ove per un generico problema, s e v indicano la soluzione esatta e il corrispondente valore noto, fp ed a sono invece la ‘falsa posizione’ scelta e l'approssimazione relativa ad essa. La proporzione (1.3), alla base del metodo ‘regula falsi’ è evidentemente valida solo per equazioni lineari del tipo $ax=b$ e per problemi ad esse riconducibili (si noti che nel Liber Abaci sono trattati solo casi con $a,b>0$). Per quanto scritto, il problema dell'albero, ad esempio, si riduce all'equazione (7/12) h = 21.

Rappresentazione grafica del metodo di 'falsa posizione'

Se ci serviamo degli strumenti della geometria analitica, è possibile visualizzare graficamente il metodo di 'falsa posizione'. Per l'esempio considerato, tracciamo il grafico della retta di equazione $y=7/12x$ passante per l'origine, come in figura:

L'ascissa del punto $H_{fp}$ è la 'falsa posizione' scelta, 24, e la sua ordinata è l'approssimazione corrispondente, 14; la soluzione cercata è invece l'ascissa del punto H di ordinata nota uguale a 21. Poiché il segmento $A_{fp}H_{fp}$ è parallelo al segmento $AH$, i triangoli $OA_{fp}H_{fp}$ e OAH hanno gli angoli corrispondenti uguali, dunque sono triangoli simili; questo implica che

${\overline {A_{fp}H_{fp}}}:{\overline {AH}}={\overline {OA_{fp}}}:{\overline {OA}}$

ovvero si riottiene la (1.2), dove h è il segmento OA.

Il metodo algoritmico presentato, è utile anche per problemi riconducibili a sistemi d'equazioni lineari in più variabili. L'applicabilità del metodo infatti è legata alla linearità delle equazioni e non al numero delle variabili coinvolte, come mostreremo nel paragrafo successivo.

Soluzione di sistemi lineari a più variabili

Supponiamo di voler risolvere il seguente problema. Due uomini possiedono una certa somma di denaro. E' noto che, se il primo uomo riceve 7 monete dal secondo, si trova ad avere 5 volte il denaro rimasto all'altro; se invece il secondo riceve 5 monete dal primo, ha 7 volte quanto resta al primo. Vogliamo determinare quante monete hanno rispettivamente entrambi gli uomini. Osserviamo che, se indichiamo con A il denaro del primo uomo e con B la somma dell'altro, il problema è equivalente al sistema di due equazioni lineari in due incognite

$\left\{{\begin{matrix}A+7&=\;5(B-7)\\\\B+5&=\;7(A-5)\end{matrix}}\right.$

(1.4)

Per prima cosa, cerchiamo di stabilire qual è la parte di denaro attribuita a ciascun uomo rispetto alla somma totale. A tal fine, per visualizzare meglio il problema, lavoriamo come proposto da Fibonacci, con i segmenti mostrati in figura:

Supponiamo, che il segmento .ab. (indichiamo i segmenti con la notazione usata nella traduzione in lingua inglese del Liber Abaci a cura di L.E. Sigler) sia la somma totale di denaro, .ag. sia la parte del primo, e .gb. ciò che possiede il secondo. Il punto d del segmento .gb. ed il punto e appartenente ad .ag. sono tali che si ha $.gd.=7$ e $.eg.=5$. Allora

$.ad.=.ag.+.gd.=5.db.\;$

$.eb.=.eg.+.gb.=7.ae.\;$

da cui segue che $.ab.=5.db.+.db.=.ae.+7.ae.$, ovvero $.db.=1/6.ab.$ e $.ae.=1/8.ab.$. Perciò:

$.ag.={\frac {1}{8}}\,.ab.\,+5\,;\quad \quad .gb.={\frac {1}{6}}\,.ab.\,+7\,$

(1.5)

Inoltre

$.ab.-(.ae.+.db.)=.ed.=.eg.+.gd.=\,12\,$

$.ae.+.db.={\frac {7}{24}}\,.ab.$

Così .ab. deve soddisfare l'equazione lineare

$.ab.-{\frac {7}{24}}\,.ab.=\,12\,$

(1.6)

Le espressioni ricavate nella (1.5) permettono quindi di ricondurre il sistema (1.4), all'equazione lineare precedente, che può essere risolta con il metodo ‘regula falsi’. Scegliamo $.ab._{fp}=24$ come ‘falsa posizione’; l'approssimazione ottenuta è

$.ab._{fp}-{\frac {7}{24}}\,.ab._{fp}=\,17\,$

Il valore esatto di .ab. si ha dunque applicando la regola del quarto proporzionale alla proporzione

$17:12=24:.ab.\;$

cioè

$.ab.={\frac {12\cdot 24}{17}}={\frac {288}{17}}$

Il denaro del primo uomo è così

$.ag.={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {288}{17}}\,+\,5={\frac {121}{17}}\,$

il denaro del secondo uomo è

$.bg.={\frac {1}{6}}\cdot {\frac {288}{17}}\,+\,7={\frac {167}{17}}$

Il metodo ‘regula falsi’ è applicabile ad un qualsiasi sistema di equazioni lineari avente soluzione, indipendentemente dal numero di variabili coinvolte. Supponiamo per esempio, di voler risolvere un problema simile al precedente, in cui il denaro sia suddiviso fra tre uomini in modo tale che: se il primo uomo prende 7 monete dagli altri, ha 5 volte la loro somma di denaro; se il secondo prende 9 monete, ha 6 volte la somma rimasta al primo e al terzo, e quest'ultimo, con 11 monete, ha 7 volte quanto resta al primo e al secondo. Volendo trascrivere il problema in simboli algebrici, se indichiamo con A, B, C rispettivamente il denaro del primo, del secondo e del terzo uomo, otteniamo un sistema di tre equazioni lineari in tre variabili

$\left\{{\begin{matrix}A+7&=\;5(B+C-7)\\\\B+9&=\;6(A+C-9)\\\\C+11&=\;7(A+B-11)\\\end{matrix}}\right.$

(1.7)

Seguendo lo stesso procedimento usato per il problema precedente, cerchiamo innanzitutto di stabilire quanto denaro viene attribuito a ciascun uomo rispetto alla somma totale $T=A+B+C$. Se il primo uomo, ricevute 7 monete, ha 5 volte la quantità di denaro rimasta agli altri due, poiché

$T=(A+7)+(B+C-7)=5(B+C-7)+(B+C-7)=6(B+C-7)$

allora

$A={\frac {5}{6}}\,T\,-7$

(1.8)

Analogamente si ricava che:

$B={\frac {6}{7}}\,T\,-9$

(1.9)

$C={\frac {7}{8}}\,T\,-11$

(1.10)

Le relazioni (1.8), (1.9), e (1.10), permettono di ricondurre il sistema (1.7) all'equazione lineare

$\left({\frac {5}{6}}+{\frac {6}{7}}+{\frac {7}{8}}\right)T\,-T\,=\,27$

(1.11)

risolvibile con il metodo ‘regula falsi’. Se consideriamo come ‘falsa posizione’ il minimo comun denominatore tra 6, 7, 8, cioè $T_{fp}=168$, il primo membro della (1.11) viene approssimato a

${\frac {5}{6}}\,168+{\frac {6}{7}}\,168+{\frac {7}{8}}\,168\,-168=140+144+147-168=263\,$

Si ricava così la proporzione

$263:27=168:T\,$

da cui segue, per la regola del quarto proporzionale,

$T={\frac {27\cdot 168}{263}}$

In particolare:

$A={\frac {140\cdot 27}{263}}\,-7\,={\frac {1939}{263}}\,$

$B={\frac {144\cdot 27}{263}}\;-9\,={\frac {1521}{263}}\,$

$C={\frac {147\cdot 27}{263}}\,-11\,={\frac {1076}{263}}\,$

Nel Liber Abaci è proposta un'altra possibile soluzione per i sistemi lineari, attraverso il così detto ‘metodo diretto’.

Mostriamo come tale metodo può essere applicato per esempio, al problema equivalente al sistema (1.4). Definiamo come ‘incognita’ (=‘la cosa’, secondo Fibonacci) un valore non noto, da determinarsi con la risoluzione del problema. Per comodità indichiamo l'incognita con x. Nel nostro caso, consideriamo come incognita x la somma di denaro che resterebbe al secondo uomo, date 7 monete al primo, cioè $x=B-7$. Se il primo uomo, ricevute le 7 monete, ha 5 volte quanto rimane al secondo, allora $A=5x-7$. Dalla seconda equazione del sistema (1.4), segue che $x+12=7(5x-12)$, cioè

$x+12=35x-84\,$

(1.12)

Poiché, aggiungendo o togliendo uno stesso valore a due quantità uguali, l'uguaglianza non cambia, sommiamo 84 monete e sottraiamo x ad entrambi i membri dell'eq. (1.12). Si ottiene

$34x=96\,$

A questo punto è sufficiente dividere entrambi i membri per 34 per determinare il valore dell'incognita $x=96/34=48/17$, da cui si ha $B=167/17$ e $A=121/17$, come trovato precedentemente.

Tutti i problemi e i metodi algoritmici proposti da Fibonacci nel Liber Abaci sono illustrati solo mediante proposizioni; tutto viene spiegato a parole senza mai ricorrere a formule. Il simbolismo algebrico inserito nelle spiegazioni precedenti, utilizzato per una maggiore comprensione del procedimento risolutivo, non esiste nel Liber Abaci, così come la rappresentazione grafica del metodo 'regula falsi', sviluppata con i metodi della geometria analitica.

Un altro metodo, deducibile da questo, è il metodo 'elchataym' o metodo di "doppia falsa posizione".