Metodo di doppia falsa posizione in Fibonacci

Il metodo di doppia falsa posizione di origine indiana, noto anche come metodo elchataym, consente di affrontare problemi riconducibili ad equazioni lineari della forma $\,ax=b$ o della forma $\,ax+b=c$. In questo articolo vediamo come questo metodo viene esposto nel Liber abbaci di Leonardo Fibonacci; come l'autore consideriamo solo casi con $\,a,b,c>0$).

A differenza del metodo di falsa posizione, o regula falsi nell'elchataym sono scelte arbitrariamente due 'false posizioni' da cui ricavare due approssimazioni distinte della condizione fissata che la soluzione esatta deve soddisfare.

Per maggiore leggibilità, come in genere si usa fare, utilizziamo il simbolismo algebrico; indichiamo con $fp_{1}$, $fp_{2}$, $a_{1}$, $a_{2}$, $s$, v, rispettivamente le due false posizioni, le due approssimazioni, la soluzione cercata e il valore noto della condizione che la soluzione soddisfa.

Supponiamo, senza ledere in generalità, che $fp_{1}<fp_{2}$ e quindi $a_{1}<a_{2}$ (essendo, nell'equazione $ax+b=c$, $a>0$ per i casi considerati).

Volendo riassumere in formule, l'elchataym è basato sulla seguente proporzione:

$(a_{2}-a_{1})\,:\,(fp_{2}-fp_{1})\,=\,(v-a_{2})\,:\,(s-fp_{2})\;$

(1.1)

da cui segue, per la regola del quarto proporzionale, che

$s=fp_{2}\,+\,{\frac {(fp_{2}-fp_{1})\,(v-a_{2})}{(a_{2}-a_{1})}}$

(1.2)

La (1.1) può essere ricavata direttamente dalla regula falsi.
Infatti, poiché per ogni falsa posizione si ha $\,a_{1}:v=fp_{1}:s\;,\;a_{2}:v=fp_{2}:s$, per le proprietà delle proporzioni, si ottiene che

$a_{2}:fp_{2}=a_{1}:fp_{1}\;$

$(a_{2}-a_{1}):(fp_{2}-fp_{1})=a_{2}:fp_{2}=v:s$

e similmente

$v:s=(v-a_{2}):(s-fp_{2})$ ;

da qui, per la proprietà transitiva di rapporti uguali, si ha la (1.1).

Mostriamo come il metodo elchataym possa essere applicato alla risoluzione di equazioni del tipo $ax=b$, riconsiderando come esempio il problema dell'albero, cioè l'equazione $(7/12)h=21$.

Se scegliamo ${fp}_{1}=h=12$ come prima falsa posizione, la prima approssimazione risulta essere $a_{1}=(7/12)12=7$, da cui segue il primo errore $e_{1}=b-a_{1}=21-7=14$ . Dalla seconda falsa posizione $fp_{2}=h=24$ segue invece $a_{2}=(7/12)24=14$, e il secondo errore $e_{2}=b-a_{2}=21-14=7$ .

Osserviamo che, aumentando di 12 la falsa posizione, nel passare da $fp_{1}$ a $fp_{2}$, per linearità dell'equazione, l'errore diminuisce per un fattore 7 da $e_{1}$ a $e_{2}$.

Ci chiediamo di quanto occorre aumentare $fp_{2}$ per ottenere la soluzione e ridurre così $e_{2}$ a zero. In altre parole, vogliamo determinare $\,(s-fp_{2})$ che soddisfi

$7:12=7:(s-fp_{2})\,$

(1.3)

Basta applicare la regola del quarto proporzionale per ricavare

$s=fp_{2}+(s-fp_{2})=24+{\frac {12\cdot 7}{7}}=36$

Si noti che la (1.3) è la proporzione (1.2) applicata all'esempio considerato, in quanto $\,a_{2}-a_{1}=(v-a_{1})-(v-a_{2})=e_{1}-e_{2}$ .

Fissate arbitrariamente due false posizioni, indichiamo con $e_{1}$, $e_{2}$ gli errori che si ottengono come differenza fra il valore noto v e le rispettive approssimazioni (vale a dire $e_{1}=v-a_{1}$, $e_{2}=v-a_{2}$); la relazione (1.2) può essere riscritta come

$s=fp_{2}+{\frac {e_{2}\,(fp_{2}-fp_{1})}{(e_{1}-e_{2})}}$

(1.4)

oppure come

$s={\frac {(fp_{2}e_{1}\,-\,fp_{1}e_{2})}{(e_{1}-e_{2})}}$

(1.5)

Quest'ultima espressione rappresenta in formula una variazione del metodo elchataym, ovvero quello che Fibonacci presenta come metodo di ‘aumento e diminuzione'. Osserviamo che, a seconda della scelta di $fp_{1}$ e $fp_{2}$, $e_{1}$ ed $e_{2}$ possono essere errori per eccesso o per difetto, cioè, algebricamente $e_{1}$, $e_{2}$ possono essere rispettivamente quantità negative o positive.

Questo non crea alcun problema dal punto di vista algebrico. Le formule (1.4), (1.5) hanno validità generale se consideriamo $e_{1}$, $e_{2}$ con i loro rispettivi segni. È importante tuttavia sottolineare che Fibonacci nel Liber abbaci lavora unicamente con numeri positivi (anche nei primi capitoli, introducendo l'operazione di sottrazione, tratta solo differenze positive tra un numero ed un secondo minore); gli errori di approssimazione sono considerati solo come quantità positive e rappresentano, a seconda della scelta delle false posizioni, l'eccesso o il difetto dell'approssimazione rispetto al valore noto.

Per questo motivo, nella trattazione dell'elchataym, fissate le false posizioni $fp_{1}$, $fp_{2}$, Fibonacci distingue tre casi:

1. entrambi gli errori sono per difetto (in simboli $e_{1},e_{2}>0$; quando $fp_{1},fp_{2}<s$)
2. entrambi gli errori sono per eccesso (in simboli $e_{1},e_{2}<0$; quando $fp_{1},fp_{2}>s$)
3. un errore è per difetto e l'altro per eccesso (in simboli $e_{1}>0,~e_{2}<0$; quando $fp_{1}<s<fp_{2}$)

Tale distinzione assume maggior rilevanza quando viene introdotto il metodo di 'aumento e diminuzione'.

Mostriamo come quest'ultimo possa essere dedotto dall'elchataym, lavorando, come proposto da Fibonacci, con dei segmenti.

Distinguendo i tre casi precedenti, sia $.ab.$ (indichiamo i segmenti con la notazione usata nella traduzione in lingua inglese del Liber abbaci curata da Laurence E. Sigler) la soluzione esatta di un qualunque problema risolvibile con il metodo di doppia falsa posizione.

Caso 1. $fp_{1},fp_{2}<s$

Siano $.ag.$ e $.ad.$ la prima e la seconda falsa posizione, e siano $.ez.$ e $.iz.$ come in figura (1.1) gli errori d'approssimazione corrispondenti.

Poiché $.ei.=e_{1}-e_{2}$ e $.gd.=fp_{2}-fp_{1}$, applicando la proporzione (1.1),

$.ei.\,:\,.gd.\,=\,.iz.\,:\,.db.$

(1.6)

da cui segue $.db..ei.=.gd..iz.$. Allora:

${\begin{matrix}.ez..ad.&=&(.ei.+.iz.).ad.\\\ &=&.ei..ad.+.iz..ad.\\\ &=&.ei..ad.+.iz.(.ag.+.gd.)\\\ &=&.ei..ad.+.iz..ag.+.db..ei.\\\ &=&.ei.(.ad.+.db.)+.iz..ag.\\\ &=&.ei..ab.+.iz..ag.\end{matrix}}$

cioè

$.ab.=\,{\frac {.ez..ad.-.iz..ag.}{.ei.}}\,={\frac {e_{1}fp_{2}-e_{2}fp_{1}}{e_{1}-e_{2}}}$

(1.7)

Caso 2. $fp_{1},fp_{2}>s\;$

Sia $.af.$ la prima falsa posizione e $.ae.$ sia la seconda. Siano $.gi.$ e $.gk.$ il primo e il secondo errore di approssimazione. Poiché è possibile applicare l'elchataym, deve valere che

$.ki.\,:\,.ef.\,=\,.gk.\,:\,.be.$

(1.8)

da cui si ha $.ef..gk.=.ki..be.$

Allora:

${\begin{matrix}.gi..ae.&=&(.gk.+.ki.).ae.\\\ &=&.gk..ae.+.ki.(.ab.+.be.)\\\ &=&.gk..ae.+.ki..ab.+.ef..gk.\\\ &=&.gk.(.ae.+.ef.)+.ki..ab.\\\ &=&.gk..af.+.ki..ab.\end{matrix}}$

cioè

$.ab.=\,{\frac {.gi..ae.-.gk..af.}{.ki.}}\,={\frac {e_{1}fp_{2}-e_{2}fp_{1}}{e_{1}-e_{2}}}$

(1.9)

Caso 3. $fp_{1}<s<fp_{2}\;$

Siano $.ag.$, $.ad.$, $.ez.$, $.zi.$, rispettivamente la prima e la seconda falsa posizione e il primo e il secondo errore di approssimazione, come in figura. Osserviamo che in questo caso, per il metodo "elchataym", deve valere la seguente proporzione

$.ei.\,:\,.gd.\,=\,.zi.\,:\,.bd.\,$

(1.10)

ove $.ei.$ è la somma dei due errori (il primo per difetto, il secondo per eccesso); analogamente, se si considera $(s-fp_{1})$,

$.ei.:.gd.=.ez.:.gb.$

da cui si ricava che $.ez..gd.=.gb..ei.$.

Allora

${\begin{matrix}.ez..ad.+.zi..ag.&=&.ez..ag.+.ez..gd.+.zi..ag.\\\ &=&.ez..gd.+(.ez.+.zi.).ag.\\\ &=&.ei..gb.+.ei..ag.\\\ &=&.ei.(.gb.+.ag.)\\\ &=&.ei..ab.\end{matrix}}$

cioè vale effettivamente

$.ab.=\,{\frac {.ez..ad.+.zi..ag.}{.ei.}}\,={\frac {e_{1}fp_{2}+e_{2}fp_{1}}{e_{1}+e_{2}}}\;$

(1.11)

Come abbiamo visto, anche il metodo elchataym, come la regula falsi, è basato solo su un argomento di proporzione (vale a dire la (1.1)).

L'elchataym può inoltre essere utilizzato per la risoluzione di problemi riconducibili ad equazioni lineari della forma

$ax+b=c$

(1.12)

come procedimento alternativo alla risoluzione algebrica diretta dell'equazione.

Se infatti consideriamo due false posizioni $x_{1}$, $x_{2}$ e le sostituiamo nella (1.12), ottenendo così le due approssimazioni $c_{1}=ax_{1}+b$, $c_{2}=ax_{2}+b$, osserviamo che $c_{2}-c_{1}=a(x_{2}-x_{1})$, cioè $a=(c_{2}-c_{1})/(x_{2}-x_{1})$ e $b=c_{2}-x_{2}(c_{2}-c_{1})/(x_{2}-x_{1})$. Riportando nella (1.12) i valori trovati per a e b, segue che

$x=x_{2}+(c-c_{2})\left({\frac {x_{2}-x_{1}}{c_{2}-c_{1}}}\right)$

(1.13)

del tutto analoga alla (1.2).

Rappresentazione grafica del metodo elchataym

L'applicazione del metodo elchataym per la risoluzione dell'eq. (1.12) può essere rappresentata graficamente con gli strumenti della geometria analitica.

Tracciamo il grafico della retta $y=ax+b$ (prendiamo in esame solo il caso $a,b>0$ e consideriamo per comodità solo i punti di ascissa x positiva); vogliamo determinare il valore esatto $x=s$ tale che $as+b=c$, con c fissato.

Scelte arbitrariamente le due false posizioni $x_{1}$, $x_{2}$ e calcolate le rispettive approssimazioni, ovvero le corrispondenti ordinate $c_{1}=y(x_{1})$, $c_{2}=y(x_{2})$, distinguiamo i tre casi:

1. se $x_{1}<x_{2}<s$
2. se $s<x_{1}<x_{2}$
3. se $x_{1}<s<x_{2}$

Consideriamo il caso 1.

Come si può vedere dalla figura, poiché il segmento BE è parallelo al segmento AF e BC è parallelo a DF, i triangoli ABC e BDE hanno angoli congruenti e quindi sono simili. Questo implica che

${\overline {BC}}:{\overline {AC}}={\overline {DE}}:{\overline {BE}}\;$

da cui segue

$s=x_{2}+{\overline {BE}}=x_{2}+{\frac {{\overline {DE}}\cdot {\overline {AC}}}{\overline {BC}}}$

che coincide con la (1.2), in quanto

${\overline {DE}}=c-c_{2}\equiv v-a_{2}\quad \quad {\overline {AC}}=x_{2}-x_{1}\equiv fp_{2}-fp_{1}\quad \quad {\overline {BC}}=c_{2}-c_{1}\equiv a_{2}-a_{1}$

Nel caso 2. consideriamo invece la similitudine tra i triangoli BDE e ADF.

Poiché i lati corrispondenti sono in proporzione,

${\overline {DE}}:{\overline {BE}}={\overline {DF}}:{\overline {AF}}$

da cui si ricava

$s=x_{2}-{\overline {AF}}=x_{2}-{\frac {{\overline {BE}}\cdot {\overline {DF}}}{\overline {DE}}}\,,$

che coincide con la (1.2), poiché

${\overline {BE}}=x_{2}-x_{1}\equiv fp_{2}-fp_{1}\quad \quad {\overline {DF}}=c_{2}-c\equiv a_{2}-v=-(v-a_{2})\quad \quad {\overline {DE}}=c_{2}-c_{1}\equiv a_{2}-a_{1}$

La proporzione

${\overline {DF}}:{\overline {AF}}={\overline {DE}}:{\overline {BE}}$

giustifica anche il caso 3. in cui una falsa posizione è maggiore e l'altra minore della soluzione esatta s.

Dalla figura si può ricavare

$s=x_{2}-{\overline {BE}}=x_{2}-{\frac {{\overline {AF}}\cdot {\overline {DE}}}{\overline {DF}}}$

che coincide con l'espressione (1.2), in quanto

${\overline {AF}}=x_{2}-x_{1}\equiv fp_{2}-fp_{1}\quad \quad {\overline {DE}}=c_{2}-c\equiv a_{2}-v=-(v-a_{2})\quad \quad {\overline {DF}}=c_{2}-c_{1}\equiv a_{2}-a_{1}$