La Feedback linearization è una tecnica di base utilizzata nel controllo di sistemi non lineari. Quest'approccio consiste nella trasformazione di un sistema non lineare in un equivalente sistema lineare, grazie a un cambio di variabili e a un ingresso appositamente scelto. La feedback linearization può essere applicata a quei sistemi non lineari che possono essere riscritti nella seguente forma

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x)+g(x)u\qquad &(1)\\y&=h(x)\qquad \qquad \qquad &(2)\end{aligned}}

dove $x\in \mathbb {R} ^{n}$ è il vettore di stato, $u\in \mathbb {R} ^{p}$ è il vettore di ingresso e $y\in \mathbb {R} ^{m}$ è il vettore di uscita. L'obiettivo è sviluppare un vettore di ingresso

u=a(x)+b(x)v\,

che renda lineare la funzione ingresso-uscita tra il nuovo ingresso $v$ e l'uscita. A questo punto può essere applicata una classica strategia di controllo per sistemi lineari.

Feedback Linearization di sistemi SISO

Si consideri il caso di feedback linearization di un sistema ad un singolo ingresso e singola uscita (SISO). I risultati ottenuti possono comunque essere facilmente estesi al caso di sistemi con più ingressi e più uscite (MIMO). Quindi, in questo caso, $u\in \mathbb {R}$ e $y\in \mathbb {R}$ . L'obiettivo è trovare una trasformazione di coordinate $z=T(x)$ che porti il sistema (1) nella cosiddetta forma normale:

{\dot {z}}=Az+bv

con

A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}{\mbox{ and }}b={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\end{bmatrix}}

grazie a una legge di controllo della forma

u=a(x)+b(x)v

.

Per assicurare che il sistema trasformato sia un'equivalente rappresentazione del sistema originale, la trasformazione dovrà essere un diffeomorfismo. Cioè, la trasformazione non solo deve essere invertibile (biettiva), ma sia la trasformazione che la sua inversa devono essere lisce così che la differenziabilità nell'originale sistema di coordinate è preservato nel nuovo sistema. In pratica, la trasformazione può anche essere solo localmente diffeomorfa, ma naturalmente la linearizzazione risultante terrà solo localmente.

Prima di risolvere questo problema si devono introdurre una serie di strumenti matematici.

Derivata di Lie

L'obiettivo della feedback linearization è produrre un sistema trasformato il cui stato è composto dall'uscita $y$ e dalle sue prime $(n-1)$ derivate. Per costruire la struttura di questo nuovo sistema, si utilizzeranno le derivate di Lie. Si consideri la derivata rispetto al tempo di (2), che può essere calcolata grazie alla regola della catena,

{\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} t}}&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f(x)+{\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x)u\end{aligned}}

Si può ora definire la derivata di Lie di $h(x)$ lungo $f(x)$ come,

L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f(x),

e analogamente, la derivata di Lie di $h(x)$ lungo $g(x)$ come,

L_{g}h(x)={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x).

Con questa nuova notazione, si può esprimere ${\dot {y}}$ come,

{\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u

Si noti che la notazione di Lie è conveniente quanto si prendono in considerazione le derivate successive rispetto o allo stesso vettore o a un altro. Per esempio,

L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{\operatorname {d} x}}f(x),

e

L_{g}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{\operatorname {d} x}}g(x).

Grado relativo

Nel sistema linearizzato il cui vettore di stato è costituito dall'uscita $y$ e dalle sue prime $(n-1)$ derivate, si deve comprendere come l'ingresso $u$ entra nel sistema. Per fare questo, deve essere introdotta la nozione di grado relativo. Il nostro sistema dato da (1) e (2) è detto avere grado relativo $r\in \mathbb {W}$ al punto $x_{0}$ se,

L_{g}L_{f}^{k}h(x)=0\qquad \forall x

in un intorno di

x_{0}

e

k\leq r-2

L_{g}L_{f}^{r-1}h(x_{0})\neq 0

Considerando questa definizione di grado relativo e il significato della derivata di Lie di $y$ , si può considerare che il grado relativo del sistema (1) e (2) sia il numero di volte che il vettore di uscita $y$ deve essere differenziato prima che l'ingresso $u$ appaia esplicitamente. In un sistema lineare tempo invariante, il grado relativo è la differenza tra il grado del denominatore polinomiale della funzione di trasferimento (cioè il numero di poli) e il suo numeratore polinomiale (cioè il numero di zeri).

Linearizzazione attraverso il feedback

Si assuma che il grado relativo del sistema sia $n$ . In questo caso, dopo aver differenziato l'uscita $n$ volte si ha,

{\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^{2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}}

dove la notazione $y^{(n)}$ indica l' $n$ -sima derivata di $y$ . Dal momento che si è assunto che il grado relativo del sistema è $n$ , le derivate di Lie della forma $L_{g}L_{f}^{i}h(x)$ per $i=1,\dots ,n-2$ saranno identicamente nulle. In altre parole, l'ingresso $u$ non dà un diretto contributo a nessuna delle prime $(n-1)$ derivate.

La trasformazione di coordinate $T(x)$ che porta il sistema nella forma normale viene dalle prime $(n-1)$ derivate. In particolare,

z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}

trasforma le traiettorie dall'originale sistema di coordinate $x$ nel nuovo sistema di coordinate $z$ . Dal momento che questa trasformazione è un diffeomorfismo, le traiettorie lisce nel sistema di coordinate originale avranno un'unica controparte nel sistema di coordinate $z$ anch'esso liscio. Queste traiettorie $z$ saranno descritte dal nuovo sistema,

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{f}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2}&=L_{f}^{2}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{cases}}.

Quindi, la legge di controllo in retroazione

u={\frac {1}{L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)}}(-L_{f}^{n}h(x)+v)

rende lineare il rapporto ingrasso-uscita da $v$ a $z_{1}=y$ . Il risultante sistema linearizzato

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}

è una serie di $n$ integratori a cascata e una legge di controllo $v$ può così essere scelta utilizzando classiche metodologie per sistemi lineari. Ad esempio, un legge di controllo del tipo

v=-Kz\qquad ,

dove il vettore di stato $z$ è l'uscita $y$ e le sue prime $(n-1)$ derivate, porta al sistema lineare tempo invariante

{\dot {z}}=Az

con,

A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_{2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.

Quindi, con un appropriata scelta di $k$ , si possono arbitrariamente posizionare i poli del sistema a ciclo chiuso linearizzato.

Dinamica zero instabile

La feedback linearization può essere utilizzata per sistemi il cui grado relativo è minore di $n$ . Tuttavia la forma normale del sistema includera la dinamica zero (cioé stati che non sono osservabili dall'uscita del sistema) che potrebbe essere instabile

Feedback linearization can be accomplished with systems that have relative degree less than $n$ . However, the normal form of the system will include zero dynamics (i.e., states that are not observable from the output of the system) that may be unstable. In practice, unstable dynamics may have deleterious effects on the system (e.g., it may be dangerous for internal states of the system to grow unbounded). These unobservable states may be stable or at least controllable, and so measures can be taken to ensure these states do not cause problems in practice.

Voci correlate

Controllo non lineare

Bibliografia

A. Isidori, Nonlinear Control Systems, third edition, Springer Verlag, London, 1995.
H. K. Khalil, Nonlinear Systems, third edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis second edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
B. Friedland, Advanced Control System Design Facsimile edition, Prentice Hall, Upper Saddle river, New Jersey, 1996.

Collegamenti esterni

ECE 758: Modeling and Nonlinear Control of a Single-link Flexible Joint Manipulator – Gives explanation and an application of feedback linearization.
ECE 758: Ball-in-Tube Linearization Example – Trivial application of linearization for a system already in normal form (i.e., no coordinate transformation necessary).

Da aggiungere a Spazio di stato

Moving object example

A classical linear system is that of one-dimensional movement of an object. The Newton's laws of motion for an object moving horizontally on a plane and attached to a wall with a spring

m{\ddot {y}}(t)=u(t)-k_{1}{\dot {y}}(t)-k_{2}y(t)

where

$y(t)$ is position; ${\dot {y}}(t)$ is velocity; ${\ddot {y}}(t)$ is acceleration
$u(t)$ is an applied force
$k_{1}$ is the viscous friction coefficient
$k_{2}$ is the spring constant
$m$ is the mass of the object

The state equation would then become

\left[{\begin{matrix}\mathbf {\dot {x_{1}}} (t)\\\mathbf {\dot {x_{2}}} (t)\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&1\\-{\frac {k_{2}}{m}}&-{\frac {k_{1}}{m}}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {x_{1}} (t)\\\mathbf {x_{2}} (t)\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{matrix}}\right]\mathbf {u} (t)

\mathbf {y} (t)=\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {x_{1}} (t)\\\mathbf {x_{2}} (t)\end{matrix}}\right]

where

$x_{1}(t)$ represents the position of the object
$x_{2}(t)={\dot {x_{1}}}(t)$ is the velocity of the object
${\dot {x_{2}}}(t)={\ddot {x_{1}}}(t)$ is the acceleration of the object
the output $\mathbf {y} (t)$ is the position of the object

The controllability test is then

\left[{\begin{matrix}B&AB\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\left[{\begin{matrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{matrix}}\right]&\left[{\begin{matrix}0&1\\-{\frac {k_{2}}{m}}&-{\frac {k_{1}}{m}}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&{\frac {1}{m}}\\{\frac {1}{m}}&{\frac {k_{1}}{m^{2}}}\end{matrix}}\right]

which has full rank for all $k_{1}$ and $m$ .

The observability test is then

\left[{\begin{matrix}C\\CA\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\\\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0&1\\-{\frac {k_{2}}{m}}&-{\frac {k_{1}}{m}}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right]

which also has full rank. Therefore, this system is both controllable and observable.

Nonlinear systems

The more general form of a state space model can be written as two functions.

\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {f} (t,x(t),u(t))

\mathbf {y} (t)=\mathbf {h} (t,x(t),u(t))

The first is the state equation and the latter is the output equation. If the function $f(\cdot ,\cdot ,\cdot )$ is a linear combination of states and inputs then the equations can be written in matrix notation like above. The $u(t)$ argument to the functions can be dropped if the system is unforced (i.e., it has no inputs).

Pendulum example

A classic nonlinear system is a simple unforced pendulum

ml{\ddot {\theta }}(t)=-mg\sin \theta (t)-kl{\dot {\theta }}(t)

where

$\theta (t)$ is the angle of the pendulum with respect to the direction of gravity
$m$ is the mass of the pendulum (pendulum rod's mass is assumed to be zero)
$g$ is the gravitational acceleration
$k$ is coefficient of friction at the pivot point
$l$ is the radius of the pendulum (to the center of gravity of the mass $m$ )