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Funzioni-L

La teoria delle funzioni-L è diventata una parte molto importante della Teoria dei numeri, anche se è ancora lontana dall'aver trovato una formulazione soddisfacente e completa. Nel suo ambito, sono state costruite generalizzazioni della Funzione zeta di Riemann, delle L-serie e del Carattere di Dirichlet, e sono state studiate le loro proprietà generali, anche se tali proprietà non sono state ancora soddisfacentemente dimostrate. Gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann di variabile complessa hanno tutti parte reale uguale a 1/2: questa è in realtà una proprietà posseduta da una classe di funzioni molto più estesa, detta delle funzioni-L. Una funzione-L è definita attraverso una funzione carattere di Dirichlet ed è espressa attraverso una serie del tipo:

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.$

Contenuti

• Funzioni-L
• Principali congetture
• L'esempio della Birch and Swinnerton-Dyer congettura
• Sviluppi della teoria generale
• Vedi anche
• Referenze
• Links Esterni

Nello studio delle L-serie, dobbiamo distinguere fra la loro rappresentazione infinita (per esempio le serie di Dirichlet per le funzioni zeta di Riemann) e le L-funzioni, che sono la loro continuazione analitica nel piano complesso. Una L-serie è definita come una serie di Dirichlet e, successivamente, attraverso un'espansione mediante un prodotto di Eulero indicizzato con numeri primi. Solo attraverso delle stime si può provare che la L-serie converge in un semipiano destro del piano complesso. Ci si può chiedere se la funzione così definita ammetta una continuazione analitica su tutto il piano complesso (sia pure potendo presentare dei poli). Questa possibile estensione meromorfa delle L-serie all'intero piano complesso è chiamata funzione-L. Nel caso classico, si possono ottenere informazioni studiando i valori e il comportamento della funzione-L in punti del piano complesso in cui la serie non converge. Attraverso la cosìddetta Classe di Selberg, raggruppiamo in un insieme di assiomi le proprietà fondamentali delle funzioni-L, concentrando lo studio sulle proprietà dell'intera classe, piuttosto che su quello delle singole funzioni.

Principali congetture

Elenchiamo le principali caratteristiche di esempi di funzioni-L che si vorrebbero generalizzare:

• Localizzazione di zeri e poli
• Studio della localizzazione degli zeri delle funzioni-L rispetto alla retta Re(s)=costante;
• Valori interi di notevole interesse

Molti lavori hanno sviluppato ipotesi plausibili riguardanti la risoluzione di questi problemi, per esempio circa i possibili tipi di equazioni funzionali in gioco. Dal momento che la funzione zeta di Riemann si connette ai numeri di Bernoulli, attraverso i valori che essa assume in corrispondenza degli interi positivi pari e negativi dispari, si cerca di generalizzare questa importante proprietà a tutte le funzioni-L. Sono stati ottenuti risultati rilevanti per le cosìddette funzioni-L p-adiche, che descrivono alcuni moduli di Galois. La distribuzione degli zeri di queste funzioni è rilevante a causa della sua connessione all'ipotesi di Riemann generalizzata e alla distribuzione dei numeri primi. La connessione delle funzioni-L con la Teoria delle Matrici random e con la Teoria del Caos quantistico è ancora oggetto di studio. La struttura frattale della distribuzione degli zeri è stata studiata usando la cosìddetta "Rescaled range analysis" [1]. La proprietà di autosimilarità frattale della distribuzione degli zeri di queste funzioni è di grande rilievo ed è contraddistinta da una dimensione frattale d=1.9. Una dimensione frattale così grande è stata trovata per molti zeri della funzione zeta di Riemann e anche per quelli di funzioni-L di altro tipo.

L'esempio della congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

Un esempio assai significativo per la storia della ricerca nel campo delle funzioni-L (ed un problema ancora aperto) è la congettura di Bryan Birch e Peter Swinnerton-Dyer, sviluppata nella prima parte degli anni '60. Tale congettura si applica ad una qualunque curva ellittica E, quando si tenta di calcolare la caratteristica della curva nel campo dei numeri razionali (o in altri campi) globali: ad esempio, tale congettura è rilevante nel caso in cui si voglia determinare il numero dei generatori liberi del gruppo formato dai punti razionali della curva stessa.

Sviluppi della teoria generale

Questo studio precede di alcuni anni lo sviluppo del programma di Langland ed è complementare ad esso: il lavoro di Langland si collega sia allo studio delle funzioni-L di Artin (che, come le funzioni-L di Hecke, erano state definite parecchi decenni prima) che alle funzioni-L connesse alle rappresentazioni automorfe generali. Gradualmente, si è chiarito in quale senso la costruzione della funzione zeta di Hasse-Weil possa fornire funzioni-L valide dal punto di vista analitico.

Argomenti collegati

• Ipotesi di Riemann generalizzata
• Teoremi di modularità
• Congettura di Artin

Bibliografia

Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, MR1697859, ISBN 978-3-540-65399-8 ^ O. Shanker (2006). "Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions". J. Phys. A: Math. Gen. 39: 13983–13997. doi:10.1088/0305-4470/39/45/008.

Collegamenti esterni

• Glimpses of a new (mathematical) world - a breakthrough third degree transcendental L-function revealed, Physorg.com, March 13, 2008
• Creeping Up on Riemann, Science News, April 2, 2008
• Hunting the elusive L-function

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