Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Trasferimento

Nel campo della teoria dei gruppi in matematica, con il termine trasferimento si definisce, fissato un gruppo G e un sottogruppo H con indice finito, un omomorfismo di gruppi da G al gruppo quoziente abeliano G/H. Può essere utilizzato insieme ai teoremi di Sylow per ottenere risultati numerici sull'esistenza di gruppi semplici finiti.

Il trasferimento venne definito da Issai Schur nel 1902 e riformulato da Emil Artin nel 1929.

Costruzione

La formazione della trasformazione si attua come segue: Sia dato l'indice $[G:H]=n$ e selezioniamo gli elementi rappresentativi per i coset sinistri del gruppo G, diciamo:

$x_{1},\dots ,x_{n},\,$

per un sottogruppo $H\leq G$, quindi G diventa unione disgiunta dei coset sx di H

$G=\bigcup \ x_{i}H.$

Consideriamo $y\in G$, ciascun yx_i sta in qualche coset x_jH e di conseguenza

$yx_{i}=x_{j}h_{i}$

per qualche indice j e qualche elemento h_i di H. Il valore del trasferimento per y è definito come l'immagine del prodotto

$\textstyle \prod _{i=1}^{n}h_{i}$

in H/H′, dove H′ è il sottogruppo commutatore di H. L'ordine dei fattori è irrilevante poiché H/H′ è abeliano.

È semplice mostrare che, sebbene h_i dipenda dalla scelta dei rappresentanti di coset, il valore del trasferimento no. È anche semplice mostrare che la trasformazione definita in questo modo è un omomorfismo.

Esempio

If G is cyclic then the transfer takes any element y of G to y^[G:H].

A simple case is that seen in the Gauss lemma on quadratic residues, which in effect computes the transfer for the multiplicative group of non-zero residue classes modulo a prime number p, with respect to the subgroup {1, −1}. One advantage of looking at it that way is the ease with which the correct generalisation can be found, for example for cubic residues in the case that p − 1 is divisible by three.

Omologia di gruppo

This homomorphism may be set in the context of group homology. In general, given any subgroup H of G and any G-module A, there is a corestriction map of homology groups $\mathrm {Cor} :H_{n}(H,A)\to H_{n}(G,A)$ induced by the inclusion map $i:H\to G$, but if we have that H is of finite index in G, there are also restriction maps $\mathrm {Res} :H_{n}(G,A)\to H_{n}(H,A)$. In the case of n = 1 and $A=\mathbb {Z}$ with the trivial G-module structure, we have the map $\mathrm {Res} :H_{1}(G,\mathbb {Z} )\to H_{1}(H,\mathbb {Z} )$. Noting that $H_{1}(G,\mathbb {Z} )$ may be identified with $G/G'$ where $G'$ is the commutator subgroup, this gives the transfer map via $G\xrightarrow {\pi } G/G'\xrightarrow {\mathrm {Res} } H/H'$, with $\pi$ denoting the natural projection. The transfer is also seen in topologia algebrica, when it is defined between classifying spaces of groups.

Terminologia

Il termine trasferimento traduce quello tedesco Verlagerung, che è stato coniato da Helmut Hasse.

Sottogruppo commutatore

If G is finitely generated, the commutator subgroup G′ of G has finite index in G and H=G′, then the corresponding transfer map is trivial. In other words, the map sends G to 0 in the abelianization of G′. This is important in proving the principal ideal theorem in class field theory. See the Emil Artin-John Tate Class Field Theory notes.

Note

Postille

Bibliografia

• Emil Artin, Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz, in Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, vol. 7, n. 1, 1929, pp. 46–51, DOI:10.1007/BF02941159.
• Issai Schur, Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen, in Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1902, pp. 1013–1019.
• (EN) W.R. Scott, Group Theory, Dover, 1987, pp. 60 ff, ISBN 0-486-65377-3.
• Jean-Pierre Serre, Local Fields, Springer-Verlag, 1979, pp. 120–122, ISBN 0-387-90424-7.

Voci correlate

• Focal subgroup theorem, an important application of transfer
• By Artin's reciprocity law, Trasferimento di Artin describes the principalization of ideal classes come estensione dei campi di numeri algebrici.