Trasformata di Radon

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In matematica, la trasformata di Radon, il cui nome è dovuto a Johann Radon, è una trasformata integrale la cui inversa, detta antitrasformata di Radon, è utilizzata per ricostruire immagini bidimensionali a partire dai dati raccolti nel processo di diagnostica medica detto tomografia assiale computerizzata (TAC). L'antitrasformata di Radon è utilizzata anche in altre applicazioni pratiche: per esempio è stata impiegata per ricostruire in base a dati satellitari mappe delle regioni polari di un pianeta o posizione e rotta di navi.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La trasformata di Radon R della funzione f(x,y) è definita come:

\mathcal{R}_{\theta}(\rho)[f(x,y)] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \delta(\rho - x \cos \theta - y \sin \theta) dx dy

dove \theta è la pendenza angolare della retta di scansione.

L'antitrasformata di Radon è:

[f(x, y)] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{dy} \mathcal{H}[\mathcal{U}(m, y - m x)] dm

dove H è la trasformata di Hilbert.

Questa trasformata venne introdotta (per problemi in due e tre dimensioni) nel 1917 dal matematico Johann Radon, che pubblicò anche le formule per il calcolo dell'antitrasformata (problema della ricostruzione), ed è stata in seguito generalizzata al caso di problemi a più dimensioni, nel campo della geometria integrale.

Algoritmo di retroproiezione filtrata[modifica | modifica sorgente]

Conoscere la trasformata di Radon di un oggetto permette di ricostruirne la struttura: il teorema della proiezione infatti assicura che se abbiamo un numero infinito di proiezioni monodimensionali di un oggetto fatte da un numero infinito di angoli diversi (ossia: se conosciamo U(m, q) ), possiamo ricostruire perfettamente la geometria dell'oggetto originale (ossia: f(x, y) ) e il processo di ricostruzione consiste appunto nel calcolare l'antitrasformata di Radon.

Tuttavia l'antitrasformata di Radon è molto instabile se i dati misurati sono affetti da rumore sperimentale. Nella pratica si usa perciò una versione stabilizzata e discretizzata dell'antitrasformata di Radon, detta «algoritmo di retroproiezione filtrata». Un corollario al teorema della proiezione afferma infatti che «la trasformata di Radon della convoluzione bidimensionale di due funzioni è uguale alla convoluzione monodimensionale delle loro trasformate di Radon». Conseguenza pratica di ciò è che per eliminare il rumore che riduce la qualità della ricostruzione non è necessario eliminarlo fisicamente alla fonte, ma è possibile filtrare matematicamente i risultati sperimentali (ossia la misura della trasformata di Radon) e quindi operare la ricostruzione (ossia calcolare l'antitrasformata) direttamente sui dati filtrati a posteriori.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Deans, Stanley R. (1983). The Radon Transform and Some of Its Applications. New York: John Wiley & Sons.
  • Frank Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32), Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0898714931
  • Frank Natterer and Frank Wubbeling, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0898714729

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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