Transizione di Kosterlitz-Thouless

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La transizione di Kosterlitz-Thouless, o anche transizione di Berezinsky-Kosterlitz-Thouless, è una transizione di fase speciale che si osserva nel modello XY per sistemi di spin interagenti in due dimensioni. È una transizione in cui i vortici hanno un ruolo determinante, al di sotto di una temperatura critica i vortici possono formarsi solo in coppie vortice-antivortice, mentre al di sopra di questa temperatura i vortici e gli antivortici non sono legati e formano configurazioni libere.

Formalmente, il modello XY è un modello di spin bidimensionale che possiede una simmetria U(1) o circolare, in cui ad ogni punto dello spazio o ad ogni nodo del reticolo è associata una variabile di tipo angolo, cioè periodica in . Una possibile funzione di partizione che gode di questa simmetria è:

dove la sommatoria è estesa a tutti i link del reticolo. A causa del teorema di Mermin-Wagner questo sistema non ammette alcune transizione di fase del tipo ordine-disordine con associata la formazione dei bosoni di Goldstone. Tuttavia nonostante questo il sistema è caratterizzato dalla presenza di alcuni valori delle costanti di accoppiamento in cui la lunghezza di correlazione è infinita.

La transizione prende il nome dei suoi scopritori, J. Michael Kosterlitz, David J. Thouless (premiati con il premio Nobel per la fisica nel 2016), e Vadim L'vovich Berezinskiĭ (Вади́м Льво́вич Берези́нский).

Il ruolo dei vortici[modifica | modifica wikitesto]

Nel modello XY in due dimensioni, i vortici sono configurazioni topologicamente stabili, dato che il gruppo U(1) non è semplicemente connesso. Un vortice presente in questo sistema non può essere distrutto dalle fluttuazioni termiche o quantistiche e lo studio di queste fluttuazioni deve essere fatto invece sviluppandole intorno alle configurazioni vorticose. È stato dimostrato che nella fase ad alta temperatura, caratterizzata da una lunghezza di correlazione che decade esponenzialmente, la presenza di vortici liberi è termodinamicamente favorito. Al di sotto di una certa temperatura critica il sistema è invece caratterizzato da una correlazione che decade con una legge a potenza, determinata dalla condensazione di vortici in coppie di vorticosità opposta, analogamente a quanto accade per un gas di elettroni in uno spazio bidimensionale.

Descrizione della transizione[modifica | modifica wikitesto]

C'è un vero elegante argomento termodinamico per comprendere la transizione KT. L'energia di un singolo vortice è della forma , dove è un parametro dipendente dal sistema in cui si sviluppa il vortice, mentre è la dimensione del sistema e è il raggio del nucleo del vortice. Si assume che che , cioè che il vortice sia molto più grande del suo nucleo e della scala a cui i dettagli microscopici del sistema diventano rilevanti. Il numero di possibili posizioni di ciascun vortice nel sistema è approssimativamente . Per la legge di Boltzmann, l'entropia è uguale a , dove è la costante di Boltzmann. Quindi, l'energia libera di Helmholtz vale

Quando , il sistema non permette la formazione di vortici. Tuttavia, quando , le condizioni sono sufficienti affinché un vortice si formi nel sistema e affinché in questo modo sia raggiunto il minimo dell'energia libera. Definiamo la temperatura della transizione come la temperatura per cui . Quindi, la temperatura critica è

I vortici si possono formare al di sopra di questa temperatura ma non al di sotto.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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