Theorema egregium

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Il theorema egregium è un risultato di geometria differenziale che afferma che la curvatura gaussiana K è una grandezza intrinseca di una superficie, conservata dalle trasformazioni isometriche locali[1]. Il risultato è stato scoperto da Carl Friedrich Gauss e pubblicato nel 1827 nelle Disquisitiones generales circa superficies curvas, enunciato nel seguente modo[2]:

« Si superficies curva in quamcumque aliam superficiem explicatur, mensura curvaturae in singulis punctis invariata manet. »
(Karl Friedrich Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas)

È chiamato dallo stesso Gauss theorema egregium (teorema egregio) per via dell'importanza del risultato: il fatto che la curvatura gaussiana sia intrinseca alla superficie ed indipendente dallo spazio ambiente, nonostante sia definita come prodotto delle curvature principali (il cui valore dipende da come la superficie è immersa dallo spazio ambiente), è un risultato tutt'altro che intuitivo e di grande valore. Una delle conseguenze immediate del teorema è il fatto che superfici con differente curvatura gaussiana non possono essere fra loro isometriche. Ad esempio, una sfera (che ha curvatura strettamente positiva) non può essere isometrica al piano (che ha curvatura nulla): per questo motivo ad esempio i planisferi presentano sempre delle distorsioni.

Il viceversa non è vero in generale: un controesempio è fornito dalla superficie di rotazione \Phi generata da una curva logaritmica e dall'elicoide \Psi:

\begin{align}
\Phi: (u,v) &\rightarrow (av\cos{u}, av\sin{u}, b\log{v}) \\
\Psi: (u,v) &\rightarrow (av\cos{u}, av\sin{u}, bu)
\end{align}

Le due superfici hanno la stessa curvatura gaussiana ma non sono isometriche[3]. Tale implicazione vale solo nel caso le due superfici abbiano curvatura gaussiana uguale e costante (teorema di Minding).

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

La curvatura gaussiana di una superficie M in un punto è definita come il prodotto delle due curvature principali nel punto o, equivalentemente, come il determinante dell'hessiano di una parametrizzazione f:A \subseteq \R^2 \to \R^3 della superficie stessa.

I coefficienti della seconda forma fondamentale (e, f, g) sono esprimibili come:

\begin{align}
e &= \langle x_{uu}, N\rangle= \dfrac{x_{uu}\cdot x_u \wedge x_v}{\sqrt{EG-F^2}}  \\
f &= \langle x_{uv}, N\rangle= \dfrac{x_{uv}\cdot x_u \wedge x_v}{\sqrt{EG-F^2}}  \\
g &= \langle x_{vv}, N\rangle= \dfrac{x_{vv}\cdot x_u \wedge x_v}{\sqrt{EG-F^2}}
\end{align}.

Sostituendo le precedenti nell'espressione


K=\dfrac{eg-f^2}{EG-F^2}

si ottiene:

\begin{align}
K(EG-F^2)^2 &= (eg-f^2)(EG-F^2)= \\
&= (x_{uu}\cdot x_u \wedge x_v)(x_{vv}\cdot x_u \wedge x_v)-(x_{uv}\cdot x_u \wedge x_v)^2. 
\end{align}

Si esprime ognuno dei fattori come determinante di prodotti di matrici (sfruttando l'invarianza del determinante rispetto alla trasposizione ed applicando il teorema di Binet), ottenendo:

\begin{align}
& K(EG-F^2)^2= 
\begin{vmatrix}
x_{uu} \\ x_u \\ x_v
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
x_{vv} \\ x_u \\ x_v
\end{vmatrix}^t
-
\begin{vmatrix}
x_{uv} \\ x_u \\ x_v
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
x_{uv} \\ x_u \\ x_v
\end{vmatrix}^t
=  \\
&=\begin{vmatrix}
x_{uu}\cdot x_{vv} & x_{uu} \cdot x_u & x_{uu} \cdot x_v  \\
x_{vv} \cdot x_u & E & F \\
x_{vv} \cdot x_v & F & G
\end{vmatrix}
-
\begin{vmatrix}
x_{uv}\cdot x_{uv} & x_{uv} \cdot x_u & x_{uv} \cdot x_v  \\
x_{uv} \cdot x_u & E & F \\
x_{uv} \cdot x_v & F & G
\end{vmatrix}
= \\
&=(x_{uu} \cdot x_{vv}-x_{uv} \cdot x_{uv})
\begin{vmatrix}
E & F \\
F & G 
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
0 & x_{uu} \cdot x_u & x_{uu} \cdot x_v  \\
x_{vv} \cdot x_u & E & F \\
x_{vv} \cdot x_v & F & G
\end{vmatrix}
+ \\
&-
\begin{vmatrix}
0 & x_{uv} \cdot x_u & x_{uv} \cdot x_v  \\
x_{uv} \cdot x_u & E & F \\
x_{uv} \cdot x_v & F & G
\end{vmatrix}.
\end{align}

Si considerano le seguenti identità (che si verificano direttamente derivando i coefficienti della prima forma fondamentale)

\begin{align}
x_{uu} \cdot x_u = \frac{1}{2}E_u &\quad x_{uv} \cdot x_u = \frac{1}{2}E_v  \\
x_{vv} \cdot x_v = \frac{1}{2}G_v &\quad x_{uu} \cdot x_v = F_u -\frac{1}{2}E_v \\
x_{uv} \cdot x_v = \frac{1}{2}G_u &\quad x_{vv} \cdot x_u = F_v -\frac{1}{2}G_u, 
\end{align}


dalle quali si deduce:

x_{uu} \cdot x_{vv} - x_{uv} \cdot x_{uv} = \dfrac{d}{dv}(x_{uu} \cdot x_v)- \dfrac{d}{du}(x_{uv} \cdot x_v)= F_{uv} -\frac{1}{2}E_{vv}-\frac{1}{2}G_{uu}.

Sostituendo nell'espressione ottenuta precedentemente si ha infine:

\begin{align}
K &= \dfrac{1}{(EG-F^2)^2}\left\lbrace    \left( F_{uv} -\frac{1}{2}E_{vv}-\frac{1}{2}G_{uu} \right)
\begin{vmatrix}
E & F \\
F & G 
\end{vmatrix}
+\right.  \\
&+\left. 
\begin{vmatrix}
0 & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v \\
F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F \\
\frac{1}{2}G_v & F & G
\end{vmatrix}
-
\begin{vmatrix}
0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u \\
\frac{1}{2}E_v & E & F \\
\frac{1}{2}G_u & F & G
\end{vmatrix} \right\rbrace .
\end{align}

Avendo espresso K per mezzo di E, F, G e delle loro derivate prime e seconde (che sono funzioni invarianti per isometrie), si può concludere che anche K è invariante per isometrie.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Gauss's Theorema Egregium, Wolfram Mathworld. URL consultato il 30 settembre 2013.
  2. ^ Gauss, op. cit., p. 24
  3. ^ Caddeo, Gray, op. cit., p. 535

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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