Sistema numerico ternario bilanciato

(EN)

«Perhaps the prettiest number system of all is the balanced ternary notation»

(IT)

«Forse il sistema numerico più grazioso di tutti è la notazione ternaria bilanciata»

(Donald E. Knuth)

Il ternario bilanciato è un sistema numerico posizionale non standard. È un sistema in base 3, che, a differenza del sistema ternario standard, usa come cifre -1, 0 e 1 anziché 0, 1 e 2. Le potenze di 3 usate per rappresentare il numero possono avere quindi coefficiente positivo, nullo o negativo.

La seguente tabella elenca i primi 12 numeri scritti nel sistema decimale, ternario e ternario bilanciato (viene usato il simbolo 1 per rappresentare la cifra -1).

Decimale	Ternario	Ternario bilanciato
$1$	$1$	$1$
$2$	$2$	$1{\bar {1}}$
$3$	$10$	$10$
$4$	$11$	$11$
$5$	$12$	$1{\bar {1}}{\bar {1}}$
$6$	$20$	$1{\bar {1}}0$
$7$	$21$	$1{\bar {1}}1$
$8$	$22$	$10{\bar {1}}$
$9$	$100$	$100$
$10$	$101$	$101$
$11$	$102$	$11{\bar {1}}$
$12$	$110$	$110$
$13$	$111$	$111$
$14$	$112$	$1{\bar {1}}{\bar {1}}{\bar {1}}$

Aritmetica

Addizione

La tavola di addizione è molto semplice, tenendo solo conto che si può avere un riporto negativo

${\begin{array}{cc}1&+\\0&=\\\hline 1&\\\end{array}}\ {\begin{array}{cc}1&+\\1&=\\\hline 1{\bar {1}}&\\\end{array}}\ {\begin{array}{cc}1&+\\{\bar {1}}&=\\\hline 0&\\\end{array}}\ {\begin{array}{cc}{\bar {1}}&+\\{\bar {1}}&=\\\hline {\bar {1}}1&\\\end{array}}$

Sottrazione

La sottrazione si effettua invertendo le cifre del numero da sottrarre e sommando.

Moltiplicazione

Anche la moltiplicazione si effettua in modo piuttosto semplice, riducendosi a una serie di cambi di segno e addizioni, come nel seguente esempio, nel quale viene eseguita l'operazione 23 × 17 = 391:

${\begin{aligned}&10{\bar {1}}{\bar {1}}\ \times \\&1{\bar {1}}0{\bar {1}}\ =\\\hline &{\bar {1}}011\\0&000\\{\bar {1}}0&11\\10{\bar {1}}&{\bar {1}}\\\hline 1{\bar {1}}{\bar {1}}&{\bar {1}}111\end{aligned}}$

Numeri negativi

Il sistema ternario bilanciato non ha bisogno di un segno meno per rappresentare i numeri negativi. Per cambiare il segno di un numero basta cambiare il segno delle sue cifre.

$1{\bar {1}}1{\bar {1}}=20$

${\bar {1}}1{\bar {1}}1=-20$

La possibilità di rappresentare anche i numeri negativi ha un costo sulle cifre da usare rispetto al sistema ternario standard, infatti, per rappresentare un generico numero n nel sistema ternario bilanciato occorrono $int[log_{3}({2\left\vert n\right\vert })]$ cifre, superiori o tutt'al più uguali alle $int[log_{3}({\left\vert n\right\vert })]+1$ cifre nel sistema ternario standard.

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