Teorema di Wiener-Khinchin

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Il teorema di Wiener–Khinchin (anche noto come teorema di Wiener–Khintchine e talvolta come teorema di Wiener–Khinchin–Einstein) afferma che la densità spettrale di energia di un segnale corrisponde alla trasformata di Fourier dell'autocorrelazione del segnale stesso.

In formule, si esprime:


R_{X}(\tau)=\int_{-\infty}^\infty S_{X}(f)e^{+j2\pi f\tau} \ df = \mathcal{F}^{-1} \{ \mathcal{E}_{X}(f) \}

Per segnali di energia, quindi, la densità spettrale di energia si può definire come la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione del segnale, che si dimostra essere uguale al modulo dell'ampiezza della trasformata di Fourier del segnale, elevata al quadrato. Per segnali di potenza, invece, si definisce densità spettrale di potenza la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione del segnale.

Wiener–Khinchin per i segnali deterministici di Energia[modifica | modifica wikitesto]

Supposto che la funzione di autocorrelazione 
 R_{X}(\tau)
sia Fourier-trasformabile: la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione di un segnale deterministico di energia è la Densità Spettrale di Energia (ESD), ovvero:


\mathcal{F} \{ R_{X}(\tau) \} \equiv \mathcal{E}_X (f), \quad \forall f

Dimostrazione del Teorema


\mathcal{F} \{ R_{X}(\tau) \}=\mathcal{F} \left\{ \int_{-\infty}^\infty y(t) y^{*}(t-\tau) \ dt \right\}

per la proprietà della convoluzione si ha che


\mathcal{F} \{ y(\tau)*y^{*}(-\tau) \} = Y(f) Y^{*}(f) = |Y(f)|^2 = \mathcal{E}(f)

Wiener–Khinchin per i segnali deterministici di Potenza[modifica | modifica wikitesto]

Supposto che la funzione di autocorrelazione 
 R_{X}(\tau)
sia Fourier-trasformabile: la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione di un segnale deterministico di potenza è lo Spettro (bilatero) di Densità di Potenza (PSD), cioè:


\mathcal{F} \{ R_{X}(\tau) \} \equiv \mathcal{P}_X (f), \quad \forall f

Dimostrazione del Teorema

Supposto che si possa considerare:


x_T(t) = \begin{cases} x(t), & |t|<\frac{T}{2}  \\ 0, & \mbox{altrimenti}

\end{cases}

il segnale limitato all'intervallo 
[-T/2, +T/2]
avente trasformata di Fourier 
X_T(f) \equiv \mathcal{F}\{x_T(t)\}
. Se x(t) è un segnale di potenza (a potenza finita) allora 
x_T(t)
sarà un segnale di energia (a energia finita - poiché limitato in tale intervallo) avente spettro di densità di energia 
\mathcal{E}_{X_T}(f) \equiv |X_T(f)|^2. È ora possibile definire la periodogramma di 
x_T(t)
come:


\mathcal{P}_{X_T} (f) \equiv \frac{|X_T(f)|^2}{T}

Ora sappiamo che la funzione di autocorrelazione di x(t) è legata a quella di 
x_T(t)
da:


 R_{X}(\tau) \equiv \lim_{T \to \infty} \frac{ R_{X_T}(\tau)}{T}

E trasformando secondo Fourier:


\mathcal{F}\{ R_{X}(\tau) \} \equiv  \mathcal{F}\{  \lim_{T \to \infty} \frac{ R_{X_T}(\tau)}{T} \} = \lim_{T \to \infty} \frac{ \mathcal{F}\{R_{X_T}(\tau)\}}{T} = \lim_{T \to \infty} \frac{|X_T(f)|^2}{T} \equiv \mathcal{P}_X (f)

per definizione di spettro di densità di potenza. E ciò dimostra il teorema. [1]

Una simile dimostrazione può essere fatta (più lunga e laboriosa) considerando il generico filtro passa-banda ideale e calcolando lo spettro di potenza di 
y(t) \equiv x(t) * h(t)
segnale in uscita a filtro secondo la definizione di 
P_Y(f)
.[2]

Wiener–Khinchin per processi Aleatori Ergodici[modifica | modifica wikitesto]

Lo spettro (bilatero) di densità di potenza di un processo ergodico (e quindi anche stazionario) è pari alla trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione del processo. Come conseguenza dell'ergodicità l'autocorrelazione può essere calcolata come momento misto di ordine (1,1).[3] Quindi:


\mathcal{F} \{ R_{X}(\tau) \} \equiv \mathcal{F} \{ m_X^{(1,1)} (\tau) \} \equiv  \mathcal{P}_X (f), \quad \forall f

Wiener–Khinchin per processi Aleatori non Stazionari e non Ergodici[modifica | modifica wikitesto]

Supposto che la funzione di autocorrelazione media-temporale di un processo (in generale, non stazionario e non ergodico) a valori complessi


 X(t) \equiv \{ x(t;\omega) \in \mathbb{C}, t \in (-\mathcal{1}, +\mathcal{1}), \omega \in \Omega\}

sia Fourier-trasformabile: allora lo spettro bilatero di densità di potenza è pari alla trasformata di Fourier della funzione autocorrelazione media-temporale:


\mathcal{F} \{ \overline{R}_{X}(\tau) \} \equiv \mathcal{P}_X (f), \quad \forall f

Dove:


\overline{R}_{X}(\tau) \equiv <R_{X}(\tau)> =  \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} R_{X}(t, t+\tau) dt

e l'operatore 
<(\cdot)>
è l'operatore di media-temporale.[4]

Dimostrazione del teorema[modifica | modifica wikitesto]

È possibile far vedere come considerando la realizzazione limitata nel tempo e di durata T relativa alla 
x(t;\omega)
:


x_T(t;\omega) = \begin{cases} x(t;\omega), & |t|\le\frac{T}{2}  \\ 0, & \mbox{altrimenti}

\end{cases}

e la corrispondente trasformata di Fourier 
X_T(f;\omega) \equiv \mathcal{F}\{x_T(t;\omega)\}
, dalla definizione di Spettro bilatero di densità di potenza del processo
 X(t)
[5]:


\mathcal{P}_X (f) := \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T}E\{ |X_T(f;\omega)|^2 \}

si giunge alla dimostrazione del teorema, ovvero che 
\mathcal{F}^{-1} \{ \mathcal{P}_X (f)\} \equiv  \overline{R}_{X}(\tau) , \quad \forall f
, supposto che:


\int_{t_1=-T/2}^{+T/2} \int_{t_2=-T/2}^{+T/2} \mathcal{R}_X (t_1,t_2) dt_1 dt_2 < + \infty
[6].

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Alessandro Falaschi, Trasmissione dei Segnali e sistemi di Telecomunicazione, Infocom - Univ. La Sapienza, Marzo 2014. URL consultato il 12 Gennaio 2015.
  2. ^ Roberto Cusani, Teoria dei Segnali, Roma, Edizioni Ingegneria 2000, 1999.
  3. ^ Roberto Cusani, Teoria dei Segnali, Roma, Edizioni Ingegneria 2000, 1999.
  4. ^ Enzo Baccarelli, Nicola Cordeschi, Mauro Biagi, Fondamenti di Comunicazioni, Roma, Esculapio, 2010.
  5. ^ Enzo Baccarelli, Nicola Cordeschi, Mauro Biagi, Fondamenti di Comunicazioni, Roma, Esculapio, 2010.
  6. ^ Wei Lu, Namrata Vaswani, The Wiener-Khinchin Theorem for Non-wide Sense stationary Random Processes, Department of Electrical and Computer Engineering, Iowa St ate University. URL consultato il 30 gennaio 2015.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]