Teorema di Nicomaco

Dimostrazione grafica del teorema

Nella teoria dei numeri, il teorema di Nicomaco (dal nome del matematico greco antico Nicomaco di Gerasa) afferma che la somma dei cubi dei primi n numeri interi è uguale al quadrato dell'n-esimo numero triangolare. I numeri triangolari sono esprimibili come somma dei primi n numeri interi:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}.$

Questa relazione può scriversi in maniera compatta attraverso sommatorie:

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.$

Dimostrazione

Il teorema è stato dimostrato in vari modi nel corso degli ultimi due secoli. Nel 1854 lo scienziato inglese Charles Wheatstone ne ha fornito una dimostrazione particolarmente semplice, basandosi sulla proprietà secondo cui l'n-esimo cubo può essere espresso come la somma di n numeri dispari consecutivi:

$1^{3}=1$

$2^{3}=8=3+5$

$3^{3}=27=7+9+11$

$4^{3}=64=13+15+17+19$

e così via. Alla luce di questo fatto si dimostra che

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}=1}+\underbrace {3+5} _{2^{3}=8}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}=27}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}=64}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.\end{aligned}}$

Si può osservare che la somma di ogni insieme di numeri dispari consecutivi a partire da 1 è uguale al quadrato del numero di dispari sommati. Quest'ultimo può facilmente essere riguardato come una somma del tipo 1 + 2 + 3 + ... + n, ovverosia come l'n-esimo numero triangolare.

Bibliografia

• (EN) E. W. Weisstein, CRC Concise Encyclopaedia of Mathematics, 2ª ed., Boca Raton, CRC Press, 2003 [1999], ISBN 1-58488-347-2.

Voci correlate

• Nicomaco di Gerasa
• Numero triangolare
• Cubo (algebra)
• Somma di potenze di interi successivi

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Nicomaco, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Charles Wheatstone, On the Formation of Powers from Arithmetical Progressions (PDF), in Proceedings of the Royal Society of London, vol. 7, Royal Society, 15 giugno 1854, p. 145-151. URL consultato l'11 settembre 2014.