Teorema di Huygens-Steiner

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Teorema e figura

Il teorema di Huygens-Steiner, o teorema degli assi paralleli, permette di calcolare il momento di inerzia di un solido rispetto ad un asse parallelo a quello passante per il centro di massa evitando in molti casi (dove è presente una struttura simmetrica) il laborioso calcolo diretto.

Enunciato

Il momento d'inerzia rispetto ad un asse a, parallelo ad un altro c passante per il centro di massa, si ottiene sommando al momento di inerzia iniziale rispetto a c il prodotto tra la massa del corpo stesso e il quadrato della distanza tra gli assi c ed a.

$I_{zz}=I_{cm}+Md^{2}$$I_{zz} = I_{cm} + M d^{2}$.

Dimostrazione

Figura per la dimostrazione

Si consideri un sistema di riferimento cartesiano xy con l'origine nel centro di massa e un altro sistema di riferimento traslato lungo l'asse x di una certa quantità, in modo che le coordinate siano $y=y'$$y=y'$ e $x=x'+d$$x = x' + d$, dove d è la distanza tra l'asse passante per il centro di massa e quello parallelo di rotazione (rispetto al quale calcoliamo il momento).

Si consideri un elemento infinitesimo dm, il cui momento di inerzia rispetto al centro di massa è dato da $dI=R^{2}dm$$dI = R^{2} dm$. Integrando lungo tutto il corpo e considerando questo sistema di riferimento ($R^{2}=x^{2}+y^{2}$$R^{2} = x^{2} + y^{2}$) si ha che

$I_{cm}=\int (x^{2}+y^{2})dm$$I_{cm} = \int (x^{2} + y^{2}) dm$.

Ora calcoleremo direttamente il momento di inerzia rispetto al nostro nuovo asse z. Si prenda dunque un elemento dm e si consideri il sistema di rif. traslato; poiché $R'^{2}=x'^{2}+y'^{2}$$R'^{2} = x'^{2} + y'^{2}$, applicando le trasformazioni nel sistema di riferimento precedente e integrando lungo tutto il corpo si ha

$I_{zz}=\int (x'^{2}+y'^{2})dm=\int [(x-d)^{2}+y^{2}]dm$$I_{zz} = \int (x'^{2} + y'^{2}) dm = \int [(x-d)^{2} + y^{2}] dm$.

Sviluppando il quadrato si ottiene $I_{zz}=\int [x^{2}+d^{2}-2xd+y^{2}]dm$$I_{zz} = \int [x^{2} + d^{2} -2xd + y^{2}] dm$ e, raccogliendo, si ha

$I_{zz}=\int [x^{2}+y^{2}]dm+d^{2}\int dm-2d\int xdm$$I_{zz} = \int [x^{2} + y^{2}]dm + d^{2} \int dm - 2d \int x dm$.

Il primo termine è proprio il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa $I_{cm}$$I_{cm}$, calcolato precedentemente. Il secondo termine è pari alla quantità $Md^{2}$$M d^{2}$, mentre il terzo termine è nullo, poiché l'integrale di xdm è l'ascissa del centro di massa nel sistema del centro di massa stesso e pertanto (essendo sull'origine) è pari a 0.

Si ottiene quindi il risultato finale:

$I_{zz}=I_{cm}+Md^{2}$$I_{zz} = I_{cm} + M d^{2}$.

Voci correlate

• Calcolo del momento di inerzia di alcuni solidi omogenei