Teorema di Huygens-Steiner

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Teorema e figura

Il teorema di Huygens-Steiner, o teorema degli assi paralleli, permette di calcolare il momento di inerzia di un solido rispetto ad un asse parallelo a quello passante per il centro di massa evitando in molti casi (dove è presente una struttura simmetrica) il laborioso calcolo diretto.

Teorema[modifica | modifica wikitesto]

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Il momento d'inerzia rispetto ad un asse a, parallelo ad un altro c passante per il centro di massa, si ottiene sommando al momento di inerzia iniziale rispetto a c il prodotto tra la massa del corpo stesso e il quadrato della distanza tra gli assi c ed a.[1]

.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Figura per la dimostrazione

Si consideri un sistema di riferimento cartesiano xy con l'origine nel centro di massa e un altro sistema di riferimento traslato lungo l'asse x di una certa quantità, in modo che le coordinate siano e , dove d è la distanza tra l'asse passante per il centro di massa e quello parallelo di rotazione (rispetto al quale calcoliamo il momento).

Si consideri un elemento infinitesimo dm, il cui momento di inerzia rispetto al centro di massa è dato da . Integrando lungo tutto il corpo e considerando questo sistema di riferimento () si ha che

.

Ora calcoleremo direttamente il momento di inerzia rispetto al nostro nuovo asse z. Si prenda dunque un elemento dm e si consideri il sistema di rif. traslato; poiché , applicando le trasformazioni nel sistema di riferimento precedente e integrando lungo tutto il corpo si ha

.

Sviluppando il quadrato si ottiene e, raccogliendo, si ha

.

Il primo termine è proprio il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa , calcolato precedentemente. Il secondo termine è pari alla quantità , mentre il terzo termine è nullo, poiché l'integrale di x dm è l'ascissa del centro di massa nel sistema del centro di massa stesso e pertanto (essendo sull'origine) è pari a 0.

Si ottiene quindi il risultato finale:

Generalizzazione ai tensori[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema degli assi paralleli può essere generalizzato per i calcoli che coinvolgono il tensore d'inerzia. Sia Iij il tensore d'inerzia di un corpo calcolato sul centro di massa. Allora il tensore d'inerzia Jij calcolato relativamente al nuovo punto è

dove è il vettore spostamento dal centro di massa al nuovo punto e δij è la delta di Kronecker.

Per gli elementi diagonali (quando i = j), gli spostamenti perpendicolari all'asse di rotazione portano alla versione semplificata del teorema come scritto di cui sopra.

La versione generalizzata del teorema di Huygens-Steiner può essere espressa nella notazione senza riferimenti a coordinate come

dove E3 è la matrice identità 3 × 3 e è il prodotto esterno.

Un'ulteriore generalizzazione del teorema dà il tensore d'inerzia intorno a un qualunque insieme di assi ortogonali paralleli al sistema di riferimento degli assi x, y e z, associato al tensore d'inerzia di riferimento, che passino per il centro di massa o meno.[2]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Sergio Rosati, Fisica Generale, Casa Editrice Ambrosiana-Milano, 1982, ISBN 88-408-0368-8. p.262
  2. ^ A. R. Abdulghany, American Journal of Physics 85, 791 (2017); doi: https://dx.doi.org/10.1119/1.4994835 .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Sergio Rosati, Fisica Generale, Casa Editrice Ambrosiana-Milano, 1982, ISBN 88-408-0368-8.

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