Teorema di Glivenko-Cantelli

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Il teorema di Glivenko-Cantelli dimostra che una distribuzione empirica di una variabile casuale unidimensionale converge verso l'effettiva distribuzione.

Il teorema venne formulato nel 1933 da Valerij Ivanovič Glivenko e Francesco Paolo Cantelli.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Siano X_1 , ... , X_n variabili casuali identiche e indipendenti con la funzione di densità di probabilità o funzione di probabilità F.

Sia \hat F_n (x) := { 1 \over n } \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{{X_i} \leq x} una funzione di distribuzione empirica che approssima l'ignota F, dove il simbolo  \mathbf{1}_{{X_i} \leq x} indica una funzione della variabile casuale X_i definita come:

\mathbf{1}_{{X_i} \leq x} = 
\left\{\begin{matrix} 
1 &\mbox{se}\ X_i \leq x \\
0 &\mbox{se}\ X_i > x
\end{matrix}\right.

Si definisce la massima deviazione della distribuzione empirica dalla variabile casuale che ne sta alla base come:


d_n=\sup_x | \hat F_n (x) - F (x) |.

Allora la differenza dn converge con probabilità 1 verso zero.

P(\lim_{n \to \infty} d_n = 0) = 1

o, equivalentemente, la successione di funzioni \hat F_n (x) converge a F(x) uniformemente con probabilità 1 per n \rightarrow \infty.

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