Teorema di Fréchet-Kuratowski

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In matematica, il teorema di Kuratowski-Wojdysławski o teorema di Fréchet-Kuratowski, che prende il nome da Kazimierz Kuratowski e Maurice René Fréchet, stabilisce che ogni spazio metrico può essere incluso in un particolare spazio di Banach. Questa inclusione permette di vedere ogni spazio metrico come sottoinsieme di uno spazio di Banach, consentendo così di sfruttare le proprietà degli spazi di Banach che non sono condivise da tutti gli spazi metrici (come la completezza).

Introdotta da Kuratowski,[1] una variante molto simile si ritrovava già in una pubblicazione di Fréchet dove viene introdotta per la prima volta l'idea di spazio metrico.[2]

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Se (X,d) è uno spazio metrico, x_0 è un punto in X e C_b(X) denota lo spazio di Banach delle funzioni limitate e continue a valori reali su X munito della norma uniforme, allora la mappa \Phi : X \rarr C_b(X) definita da:

\Phi(x)(y) = d(x,y)-d(x_0,y) \qquad \forall x,y\in X

è una isometria.[3] Si noti che questa inclusione, talvolta nota come inclusione di Kuratowski, dipende dalla scelta del punto x_0, e non è quindi del tutto canonica.

Il teorema di Fréchet-Kuratowski afferma che ogni spazio metrico limitato X è isometrico ad un sottoinsieme chiuso di un sottoinsieme convesso di un qualche spazio di Banach. Si nota che l'immagine di questa inclusione è chiusa in un sottoinsieme convesso, non necessariamente in uno spazio di Banach. Qui si usa l'isometria \Psi : X \rarr C_b(X) definita da:

\Psi(x)(y) = d(x,y) \qquad \forall x,y\in X

Il convesso menzionato sopra è l'inviluppo convesso di \Psi(X).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Kuratowski, C. (1935) "Quelques problèmes concernant les espaces métriques non-separables", Fundamenta Mathematica 25: 534-545.
  2. ^ Fréchet M. (1906) "Sur quelques points du calcul fonctionnel", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 22: 1—74.
  3. ^ Juha Heinonen, Geometric embeddings of metric spaces, gennaio 2003. URL consultato il 6 gennaio 2009.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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