Teorema di Fréchet-Kuratowski

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In matematica, l'inclusione di Kuratowski permette di vedere ogni spazio metrico come sottoinsieme di uno spazio di Banach. Prende il nome da Kazimierz Kuratowski e Maurice René Fréchet.

In particolare, se (X,d) è uno spazio metrico, x0 è un punto in X, e Cb(X) denota lo spazio di Banach delle funzioni limitate e continue a valori reali su X con la norma uniforme, allora la mappa

\Phi : X \rarr C_b(X)

definita da

\Phi(x)(y) = d(x,y)-d(x_0,y) \quad\mbox{per ogni}\quad x,y\in X

è una isometria.[1]

Si noti che questa inclusione dipende dalla scelta del punto x0 e non è quindi del tutto canonica.

Il teorema di Kuratowski–Wojdysławski o di Fréchet-Kuratowski afferma che ogni spazio metrico limitato X è isometrico a sottoinsieme chiuso di un sottoinsieme convesso di un qualche spazio di Banach.[2] (N.B. l'immagine di questa inclusione è chiusa in un sottoinsieme convesso, non necessariamente in uno spazio di Banach.) Qui usiamo l'isomertria:

\Psi : X \rarr C_b(X)

definita da

\Psi(x)(y) = d(x,y) \quad\mbox{per ogni}\quad x,y\in X

Il convesso menzionato sopra è l'inviluppo convesso di Ψ(X).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Juha Heinonen, Geometric embeddings of metric spaces, gennaio 2003. URL consultato il 6 gennaio 2009.
  2. ^ Karol Borsuk, Theory of retracts, Warsaw, 1967.. Theorem III.8.1
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