Teorema di Babuška-Lax-Milgram

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search

In matematica, il teorema di Babuška-Lax-Milgram è un risultato di analisi funzionale che generalizza il lemma di Lax-Milgram e fornisce le condizioni per cui una forma bilineare può essere "invertita" per mostrare l'esistenza e l'unicità di una soluzione debole per determinate condizioni al contorno.

Il teorema ha rilevanti applicazioni nella teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, e anche in analisi numerica per lo studio del metodo degli elementi finiti.

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

Nell'approccio tipico dell'analisi funzionale allo studio delle equazioni alle derivate parziali si utilizza frequentemente la struttura di spazio vettoriale dell'insieme delle possibili soluzioni, ad esempio spesso si ha a che fare con spazi di Sobolev. Si considerino due spazi normati e con i loro duali continui e , dove spesso è lo spazio delle possibili soluzioni. Dato un operatore differenziale parziale ed una funzione conosciuta , l'obiettivo è trovare un vettore tale che:

Nella formulazione debole si richiede che questa equazione valga soltanto anche per tutti gli altri elementi di . Per "testare" queste funzioni si utilizza una forma bilineare che "codifica" l'operatore differenziale in modo che una soluzione al problema debole si ottiene trovando tale che:

Per ottenere il risultato del 1954 di Lax e Milgram bisogna fare in modo, specificando sufficienti condizioni al contorno, che tale formulazione debole abbia una soluzione unica e che dipende con continuità dalla funzione data . Nello specifico, deve essere uno spazio di Hilbert e è una funzione continua e fortemente coercitiva, cioè:

per qualche costante e per ogni .

Ad esempio, nella soluzione dell'equazione di Poisson su un dominio aperto e limitato :

lo spazio può essere preso come lo spazio di Sobolev con duale . La forma bilineare associata a è il prodotto interno in delle derivate:

Quindi la formulazione debole dell'equazione di Poisson, data , è trovare tale che:

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1971 Babuška dimostrò la seguente generalizzazione della prima formulazione del lemma di Lax-Milgram, che comincia col fornire la richiesta che e siano due spazi di Hilbert reali e una forma bilineare continua. Sia inoltre debolmente coercitiva, ovvero per una costante e per tutti gli si verifica:

e, per si ha:

Allora, per tutte le funzioni nel duale di esiste un'unica soluzione alla formulazione debole del problema:

Inoltre, la soluzione dipende con continuità da :

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica