Lemma di Lax-Milgram

Il lemma di Lax-Milgram è un risultato di analisi funzionale con rilevanti applicazioni nella teoria delle equazioni alle derivate parziali ed è fondamentale in analisi numerica per lo studio del metodo degli elementi finiti. Il punto di partenza è la formulazione debole del problema alle derivate parziali.

Nel 1971 Ivo Babuška fornì una generalizzazione del teorema, il teorema di Babuška-Lax-Milgram.

Enunciato

Sia $V$ uno spazio di Hilbert con norma $\|\cdot \|$, sia $b(u,v)$ una forma bilineare su $V$ e sia $F$ un funzionale lineare e continuo che opera su elementi di $V$ (ossia un elemento del duale $V^{*}$ di $V$); si voglia trovare $u\in V$ soluzione del problema variazionale:

$b(u,v)=\langle F,v\rangle ,\qquad \forall v\in V,$

dove $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ rappresenta la dualità fra $V$ e $V^{*}$. Se la forma bilineare è continua, ossia esiste una costante $C$ positiva tale che:

$|b(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|,\qquad \forall u,v\in V,$

ed è inoltre coerciva o ellittica, ossia esiste $\alpha$ positiva tale che:

$b(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2},\qquad \forall v\in V,$

allora il problema variazionale ammette un'unica soluzione. Si noti come non sia necessaria l'ipotesi che la forma bilineare sia simmetrica. Il lemma di Lax-Milgram fornisce inoltre una stima di stabilità per la soluzione $u$:

$\|u\|\leq {\frac {\|F\|_{V^{*}}}{\alpha }}.$

Bibliografia

• S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1
• Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5.
• (EN) Ralph E. Showalter, Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations, Mathematical Surveys and Monographs 49, Providence, RI, American Mathematical Society, 1997, pp. xiv+278, ISBN 0-8218-0500-2. (chapter III)

Voci correlate

• Metodo degli elementi finiti
• Metodo di Galërkin
• Teorema di Babuška-Lax-Milgram

Collegamenti esterni

• (EN) Encyclopedia of Mathematics, Lax-Milgram lemma, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) MathWorld page on Lax-Milgram theorem, su mathworld.wolfram.com.