Teorema dell'elemento primitivo

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In matematica, il teorema dell'elemento primitivo è un risultato della teoria dei campi che caratterizza le estensioni algebriche che sono semplici, ovvero che possono essere generate da un unico elemento (detto appunto elemento primitivo per l'estensione).

Teorema[modifica | modifica wikitesto]

Esistono due formulazioni del teorema dell'elemento primitivo.

La prima è la seguente: un'estensione algebrica è semplice (ovvero possiede un elemento primitivo) se e solo se ci sono solo un numero finito di campi intermedi (ovvero di campi tali che ).

Nella seconda, sia un'estensione algebrica finita di . Se sono separabili, allora l'estensione è semplice.

In entrambi i casi, un corollario immediato è che ogni estensione separabile finita di è semplice; in particolare, ogni estensione finita di un campo di caratteristica 0 (ad esempio, ogni campo di numeri - ovvero ogni estensione finita dei numeri razionali) è un'estensione semplice.

Un'altra conseguenza diretta è che le estensioni finite dei campi finiti sono semplici.

Elementi primitivi[modifica | modifica wikitesto]

Le dimostrazioni di entrambe le forme del teorema mostrano che, se un elemento primitivo esiste, allora ha la forma , dove e gli sono elementi di ; in particolare, mostrano che, ad eccezione di un numero finito di -uple , l'elemento è sempre primitivo (in particolare, non è unico).

Le dimostrazioni mostrano inoltre che, se è generato da due elementi, allora è un elemento primitivo se

,

dove gli sono i coniugati di su e i sono i coniugati di .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Se , un elemento primitivo dell'estensione è .
  • Più in generale, se e sono estensioni normali di e , allora è un elemento primitivo di .
  • Se e due degli non sono separabili, allora l'estensione può non essere semplice. Ad esempio, se è un campo di caratteristica e sono due indeterminate su , allora l'estensione

non è semplice, in quanto ha grado ma ogni elemento di ha grado su .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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