Spirali sinusoidali

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Confronto tra spirali sinusoidali: iperbole equilatera (n = -2), retta (n = -1), parabola (n = -1/2), cardioide (n = 1/2), cerchio (n = 1) e lemniscata di Bernoulli (n = 2)

In geometria, le spirali sinusoidali sono una famiglia di curve definite dalla seguente equazione in coordinate polari

dove a è una costante diversa da zero e n è un numero razionale anch'esso diverso da 0. Con una rotazione di un angolo retto sull'origine, l'equazione può essere scritta

Il termine "spirale" è un termine improprio, perché in realtà non sono spirali in senso stretto, e spesso hanno una forma simile a un fiore. Molte curve molto note sono spirali sinusoidali tra cui ricordiamo:

Queste curve sono state studiate per la prima volta da Colin Maclaurin.

Differenziando

ed eliminando a si ottiene un'equazione differenziale per r e θ :

.

Allora

il che implica che l' angolo tangenziale polare è

e così l'angolo tangenziale è

.

(Il segno qui è positivo se r e cos (nθ) hanno lo stesso segno e negativo nel caso opposto.)

Il vettore tangente unitario,

,

che ha lunghezza unitaria, e confrontando la grandezza dei vettori su ciascun lato dell'equazione precedente si ottiene

.

In particolare, la lunghezza di un singolo ciclo quando è:

La curvatura è data da

.

La curva inversa di una spirale sinusoidale rispetto ad un cerchio con centro all'origine è ancora una spirale sinusoidale. Il valore di n della curva inversa è il negativo del valore di n della curva originale. Ad esempio, l'inverso della lemniscata di Bernoulli è un'iperbole rettangolare.

L'isottica, il pedale e il pedale negativo di una spirale sinusoidale sono altri esempi di spirali sinusoidali.

In percorso di una particella che si muove secondo una forza centripeta proporzionale a una potenza di r percorre una spirale sinusoidale.

Quando n è un numero intero e gli n punti sono disposti regolarmente su una circonferenza di raggio a, allora, l'insieme di punti la cui media geometrica delle distanze dal punto stesso agli n punti e' costante, è una spirale sinusoidale . In questo caso la spirale sinusoidale è una lemniscata polinomiale.

  • Yates, RC: A Handbook on Curves and Their Properties, JW Edwards (1952), "Spiral" p. 213 – 214
  • Weisstein, Eric W. "Sinusoidal Spiral". MathWorld.

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