Podaria

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In geometria, la podaria di un curva rispetto ad un punto detto polo è il luogo geometrico formato dalle proiezioni di sulle rette tangenti alla curva; tali proiezioni sono anche i piedi delle normali alle rette tangenti alla curva passanti per il polo stesso (da cui il termine podaria). La curva originaria è detta anche antipodaria.

Equazione della podaria[modifica | modifica wikitesto]

Siano date le equazioni parametriche della curva :

dove e sono due funzioni derivabili su un intervallo . La tangente di nel suo punto ha equazione

La proiezione di sulla tangente si trova sulla retta perpendicolare a questa e passante per :

Intersecando queste due rette si ottiene il generico punto della podaria, che ha le seguenti equazioni parametriche:

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando l'equazione sopra descritta si possono calcolare alcuni casi significativi di podaria.

Podaria della circonferenza[modifica | modifica wikitesto]

Esempi di podaria della circonferenza con poli in differenti posizioni

La podaria di una circonferenza è la lumaca di Pascal.

Per dimostrarlo, si considera una circonferenza passante per l'origine di raggio 1 e centro nel punto , di equazioni parametriche:

Possiamo limitarci a considerare i poli , posti sull'asse delle ascisse, con . Le equazioni della podaria sono allora:

I casi possibili sono:

  • è il centro della circonferenza: la podaria è la circonferenza stessa;
  • è interno alla circonferenza: la podaria è senza nodi; se P dista dal centro meno di metà raggio, la podaria racchiude una regione convessa, altrimenti una regione concava;
  • è sulla circonferenza: la podaria è una cardioide;
  • è esterno alla circonferenza: la podaria è una curva intrecciata.

Podaria della parabola[modifica | modifica wikitesto]

Esempi di podaria della parabola con poli in differenti posizioni

Consideriamo la parabola di equazione ; le sue equazioni parametriche sono e ; dalla formula generale si ricavano le equazioni della podaria per un polo che giace sull'asse della parabola:

Alcune podarie notevoli sono:

  • : il polo coincide con il fuoco della parabola; la podaria è l'asse delle ascisse;
  • : il polo coincide con il vertice della parabola; la podaria è una cissoide di Diocle;
  • : il polo è il simmetrico del fuoco rispetti alla direttrice; la podaria è la trisettrice di Mac Laurin.

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