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Cardioide. In geometria la cardioide è una curva piana e più precisamente una epicicloide con una e una sola cuspide . Essa è quindi una curva che si può ottenere tracciando il percorso di un punto scelto su una circonferenza che viene fatta rotolare senza scivolamenti intorno ad un'altra circonferenza di raggio uguale e mantenuta fissa. La cardioide può anche essere vista come un caso particolare di limaçon .
Il suo nome esprime la sua forma di un cuore stilizzato e deriva dal greco kardioeides = kardia (cuore) + eidos (forma).
Realizzazione di una cardioide. La cardioide, dato che è una epicicloide con una cuspide, è individuata dalle seguenti equazioni parametriche in cui la lunghezza del raggio di entrambi i cerchi è uguale a
r
{\displaystyle r}
{
x
(
θ
)
=
r
(
1
−
2
cos
θ
+
cos
2
θ
)
y
(
θ
)
=
r
(
2
sin
θ
−
sin
2
θ
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=r(1-2\cos \theta +\cos 2\theta )\\y(\theta )=r(2\sin \theta -\sin 2\theta ).\end{cases}}}
Questa curva viene individuata anche dall'equazione in coordinate polari
ρ
=
2
r
(
1
−
cos
θ
)
.
{\displaystyle \rho =2r(1-\cos \theta ).}
In particolare le sopracitate equazioni parametriche descrivono una epicicloide che ha la cuspide nell'origine e che si sviluppa verso destra.
La coordinata polare radiale
ρ
(
θ
)
{\displaystyle \rho (\theta )}
ρ
(
θ
)
=
x
2
(
θ
)
+
y
2
(
θ
)
=
r
(
1
−
2
cos
θ
+
cos
2
θ
)
2
+
(
2
sin
θ
−
sin
2
θ
)
2
=
r
1
+
4
cos
2
θ
+
cos
2
2
θ
−
4
cos
θ
+
2
cos
2
θ
−
4
cos
θ
cos
2
θ
+
4
sin
2
θ
+
sin
2
2
θ
−
4
sin
θ
sin
2
θ
=
r
1
+
4
(
sin
2
θ
+
cos
2
θ
)
+
(
sin
2
2
θ
+
cos
2
2
θ
)
−
4
(
cos
θ
cos
2
θ
+
sin
θ
sin
2
θ
)
−
4
cos
θ
+
2
cos
2
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\theta )&={\sqrt {x^{2}(\theta )+y^{2}(\theta )}}\\&=r{\sqrt {{(1-2\cos \theta +\cos 2\theta )}^{2}+(2\sin \theta -\sin 2\theta )^{2}}}\\&=r{\sqrt {1+4\cos ^{2}\theta +\cos ^{2}2\theta -4\cos \theta +2\cos 2\theta -4\cos \theta \cos 2\theta +4\sin ^{2}\theta +\sin ^{2}2\theta -4\sin \theta \sin 2\theta }}\\&=r{\sqrt {1+4(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )+(\sin ^{2}2\theta +\cos ^{2}2\theta )-4(\cos \theta \cos 2\theta +\sin \theta \sin 2\theta )-4\cos \theta +2\cos 2\theta }}.\end{aligned}}}
Ora si può semplificare applicando la relazione trigonometrica fondamentale:
cos
2
θ
+
sin
2
θ
=
1
,
{\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1,}
cos
2
2
θ
+
sin
2
2
θ
=
1
,
{\displaystyle \cos ^{2}2\theta +\sin ^{2}2\theta =1,}
e la formula di sottrazione del coseno:
cos
θ
cos
2
θ
+
sin
θ
sin
2
θ
=
cos
(
θ
−
2
θ
)
=
cos
(
−
θ
)
=
cos
θ
.
{\displaystyle \cos \theta \cos 2\theta +\sin \theta \sin 2\theta =\cos(\theta -2\theta )=\cos(-\theta )=\cos \theta .}
Quindi
ρ
=
r
1
+
4
+
1
−
4
cos
θ
−
4
cos
θ
+
2
cos
2
θ
=
r
6
−
8
cos
θ
+
2
cos
2
θ
=
r
2
(
3
−
4
cos
θ
+
cos
2
θ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r{\sqrt {1+4+1-4\cos \theta -4\cos \theta +2\cos 2\theta }}\\&=r{\sqrt {6-8\cos \theta +2\cos 2\theta }}\\&=r{\sqrt {2(3-4\cos \theta +\cos 2\theta )}}.\end{aligned}}}
A questo punto, grazie alla formula di duplicazione del coseno:
cos
2
θ
=
cos
2
θ
−
sin
2
θ
=
2
cos
2
θ
−
1
,
{\displaystyle \cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1,}
segue che
ρ
=
r
2
(
3
−
4
cos
θ
+
2
cos
2
θ
−
1
)
=
r
2
(
2
−
4
cos
θ
+
2
cos
2
θ
)
=
r
4
(
1
−
2
cos
θ
+
cos
2
θ
)
=
2
r
(
1
−
cos
θ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r{\sqrt {2(3-4\cos \theta +2\cos ^{2}\theta -1)}}\\&=r{\sqrt {2(2-4\cos \theta +2\cos ^{2}\theta )}}\\&=r{\sqrt {4(1-2\cos \theta +\cos ^{2}\theta )}}\\&=2r(1-\cos \theta ).\end{aligned}}}
Di seguito, alcuni valori geometrici che caratterizzano la cardioide.
Usando l'equazione polare della cardioide, ogni punto che appartiene alla curva ha coordinate:
{
x
(
θ
)
=
ρ
(
θ
)
cos
θ
y
(
θ
)
=
ρ
(
θ
)
sin
θ
.
{\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=\rho (\theta )\cos \theta \\y(\theta )=\rho (\theta )\sin \theta .\end{cases}}}
La lunghezza della cardioide è quindi calcolabile con:
L
=
∫
0
2
π
‖
γ
˙
(
θ
)
‖
d
θ
=
∫
0
2
π
x
˙
2
+
y
˙
2
d
θ
.
{\displaystyle L=\int _{0}^{2\pi }{\bigl \|}{\dot {\gamma }}(\theta ){\bigr \|}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,\mathrm {d} \theta .}
Inserendo le equazioni nell'integrale e ricordando le formule di bisezione si ottiene:
L
=
2
r
∫
0
2
π
2
(
1
−
cos
θ
)
d
θ
=
4
r
∫
0
2
π
|
sin
θ
2
|
d
θ
=
8
r
[
−
cos
θ
2
]
0
2
π
=
16
r
.
{\displaystyle L=2r\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}\,\mathrm {d} \theta =4r\int _{0}^{2\pi }\left|\sin {\frac {\theta }{2}}\right|\mathrm {d} \theta =8r{\left[-\cos {\frac {\theta }{2}}\right]}_{0}^{2\pi }=16r.}
La lunghezza della cardioide è quindi
16
r
{\displaystyle 16r}
L'area della cardioide si può calcolare direttamente in coordinate polari, ricordando che:
∬
d
x
d
y
=
∬
ϱ
d
ϱ
d
θ
.
{\displaystyle \iint \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint \varrho \,\mathrm {d} \varrho \,\mathrm {d} \theta .}
Si ha allora:
A
=
1
2
∫
0
2
π
ρ
(
θ
)
2
d
θ
=
2
r
2
∫
0
2
π
(
1
−
cos
θ
)
2
d
θ
=
2
r
2
[
3
2
θ
−
2
sin
θ
+
1
4
sin
2
θ
]
0
2
π
=
2
r
2
⋅
3
π
=
6
π
r
2
.
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\rho (\theta )}^{2}\,\mathrm {d} \theta =2r^{2}\int _{0}^{2\pi }(1-\cos \theta )^{2}\,\mathrm {d} \theta =2r^{2}{\left[{\frac {3}{2}}\theta -2\sin \theta +{\frac {1}{4}}\sin 2\theta \right]}_{0}^{2\pi }=2r^{2}\cdot 3\pi =6\pi r^{2}.}
L'area della cardioide è
6
π
r
2
{\displaystyle 6\pi r^{2}}
Il baricentro
G
{\displaystyle G}
A
x
G
=
∬
x
d
x
d
y
,
{\displaystyle Ax_{G}=\iint x\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,}
dove
A
{\displaystyle A}
A
x
G
=
∬
ϱ
2
cos
θ
d
ϱ
d
θ
=
∫
0
2
π
(
∫
0
ρ
(
θ
)
ϱ
2
d
ϱ
)
cos
θ
d
θ
=
1
3
∫
0
2
π
ρ
(
θ
)
3
cos
θ
d
θ
=
…
=
−
10
π
r
3
,
{\displaystyle Ax_{G}=\iint \varrho ^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \varrho \,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{\rho (\theta )}\varrho ^{2}\mathrm {d} \varrho \right)\cos \theta \,\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{3}}\int _{0}^{2\pi }{\rho (\theta )}^{3}\cos \theta \,\mathrm {d} \theta =\ldots =-10\pi r^{3},}
dove abbiamo sfruttato il teorema di Fubini , essendo la superficie da essa racchiusa un dominio normale rispetto a
θ
{\displaystyle \theta }
x
G
=
−
5
3
r
{\displaystyle x_{G}=-{\frac {5}{3}}r}
Il baricentro della cardioide ha quindi coordinate:
G
=
(
x
G
;
y
G
)
=
(
−
5
3
r
;
0
)
.
{\displaystyle G=(x_{G};y_{G})=\left(-{\frac {5}{3}}r;0\right).}
Si supponga di far ruotare la cardioide attorno al suo asse di simmetria. Siano le ascisse tale asse. Per coerenza con le definizioni delle coordinate sferiche , si consideri di far ruotare attorno all'asse soltanto la porzione di cardiode con ordinate positive. Tale richiesta equivale a imporre che l'angolo latitudinale
θ
{\displaystyle \theta }
0
{\displaystyle 0}
π
{\displaystyle \pi }
Integrando in coordinate sferiche, si ha:
∭
d
x
d
y
d
z
=
∭
ϱ
2
sin
θ
d
ϱ
d
θ
d
ϕ
,
{\displaystyle \iiint \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iiint \varrho ^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varrho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi ,}
dove
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
{\displaystyle \phi }
0
{\displaystyle 0}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
α
{\displaystyle \alpha }
V
=
∭
ϱ
2
sin
θ
d
ϱ
d
θ
d
ϕ
=
∫
0
α
d
ϕ
∫
0
π
(
∫
0
ρ
(
θ
)
ϱ
2
d
ϱ
)
sin
θ
d
θ
=
α
1
3
∫
0
π
ρ
(
θ
)
3
sin
θ
d
θ
=
…
=
32
3
α
r
3
.
{\displaystyle V=\iiint \varrho ^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varrho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\alpha }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\pi }\left(\int _{0}^{\rho (\theta )}\varrho ^{2}\,\mathrm {d} \varrho \right)\sin \theta \,\mathrm {d} \theta =\alpha {\frac {1}{3}}\int _{0}^{\pi }{\rho (\theta )}^{3}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta =\ldots ={\frac {32}{3}}\alpha r^{3}.}
Quindi, se la rotazione è completa (
α
=
2
π
{\displaystyle \alpha =2\pi }
solido di rotazione che si ottiene vale
64
3
π
r
3
.
{\displaystyle {\frac {64}{3}}\pi r^{3}.}
![{\displaystyle L=2r\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}\,\mathrm {d} \theta =4r\int _{0}^{2\pi }\left|\sin {\frac {\theta }{2}}\right|\mathrm {d} \theta =8r{\left[-\cos {\frac {\theta }{2}}\right]}_{0}^{2\pi }=16r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba52656ca2dc72b715034389d45a828b3fd3bb9a)
![{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\rho (\theta )}^{2}\,\mathrm {d} \theta =2r^{2}\int _{0}^{2\pi }(1-\cos \theta )^{2}\,\mathrm {d} \theta =2r^{2}{\left[{\frac {3}{2}}\theta -2\sin \theta +{\frac {1}{4}}\sin 2\theta \right]}_{0}^{2\pi }=2r^{2}\cdot 3\pi =6\pi r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea6fcc2e12327bc4b1bf3b6d3a5ffec64153fb4)
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