Mediana (geometria)

In un triangolo, la mediana è un segmento che congiunge un vertice al punto medio del lato opposto.

La mediana di un parallelogramma è il segmento che congiunge i punti medi di due lati opposti.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Alcune proprietà della mediana:

1 - Il triangolo viene diviso dalla mediana in due triangoli aventi la stessa superficie e tutte le altre rette che dividono il triangolo in due parti di uguale superficie non passano per il baricentro.

2 - Le tre mediane di un triangolo si intersecano in un punto chiamato baricentro o centro di massa (per una dimostrazione si veda per esempio il Teorema di Ceva).

3 - Ogni mediana giace per due terzi della propria lunghezza fra il vertice e il baricentro, mentre l'altro terzo si trova fra il baricentro e il punto medio del lato opposto.

La terza proprietà non è immediata. In riferimento alla figura sottostante, provo che $BG=2GB'$ . Siano $D$ ed $E$ rispettivamente i punti medi dei segmenti $BG$ e $CG$ . Quindi $BD=DG$ (1) e $CE=EG$ . Applicando il Teorema di Talete al triangolo $ABC$ tagliato dalla retta passante per $B'$ e $C'$ ho che

$B'C'={\frac {1}{2}}BC$ .

Applicando il Teorema di Talete al triangolo $GBC$ tagliato dalla retta passante per $D$ ed $E$ ho che

$DE={\frac {1}{2}}BC$ .

Quindi $DEB'C'$ è un parallelogramma. In un parallelogramma le diagonali si tagliano scambievolmente a metà, quindi $DG=GB'$ (2). Si conclude osservando che per (1) e (2) si ha $BG=BD+DG=2DG=2GB'$ . Analogo ragionamento per le altre due mediane.

Lunghezza delle mediane[modifica | modifica wikitesto]

La lunghezza della mediana può essere ottenuta grazie al teorema della mediana. Usando la notazione standard per gli elementi di un triangolo e con $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ le mediane uscenti rispettivamente dai vertici $A$ , $B$ , $C$ , si ha che:

$m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}$
$m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-b^{2}}}$
$m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}$

Dimostrazione: Sia $A'$ il punto medio del lato $BC$ . Considero i triangoli $ABA'$ e $AA'C$ . Per la prima proprietà essi sono equivalenti, quindi hanno medesima area, cioè $ABA'=AA'C$ . Calcolando l'area dei due triangoli applicando la Formula di Erone (conviene la seconda forma proposta) ottengo il primo enunciato. Ragionamento analogo per gli altri due.