Teorema di Ceva

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Il teorema di Ceva è un noto teorema in geometria elementare. Deve il suo nome a Giovanni Ceva, che ne diede dimostrazione nella sua opera De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio del 1678, anche se il primo a dimostrarlo fu Yusuf al-Mu'tamin ibn Hud, attorno all'XI secolo. Si definisce ceviana una retta che congiunge un vertice con un punto del lato opposto di un triangolo. Il teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tre ceviane si incontrino in uno stesso punto.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Ceva's theorem 1.svg

Siano A, B, C i vertici di un triangolo; li si congiungano con un punto O del piano e si indichino con D, E, F le intersezioni con i lati del triangolo.
Si ha la seguente relazione:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si considerino i triangoli e . Si può notare che hanno in comune un'altezza relativa ai due segmenti e , basi rispettivamente del primo e del secondo triangolo. Da questo, tenendo conto della formula , per l'area di un triangolo, si deduce che il rapporto tra le aree dei due triangoli è uguale al rapporto tra le rispettive basi:

.

Similmente si può dimostrare che vale anche:

e di conseguenza, per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si giunge a:

Facendo riferimento alla figura, e tenendo conto della proprietà delle proporzioni:

possiamo infine scrivere che:

Ragionando in modo analogo per i lati e scriveremo anche le proporzioni:

.

Possiamo utilizzare quanto dimostrato fin ora per riscrivere la formula iniziale:

Come volevasi dimostrare, tale espressione è uguale a in quanto ogni termine compare una volta a numeratore ed una a denominatore.

Forma trigonometrica[modifica | modifica wikitesto]

La formula del teorema può essere scritta in una forma trigonometrica equivalente:

Una possibile dimostrazione di ciò avviene attraverso il teorema dei seni.

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