Ceviana

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In geometria, una ceviana è genericamente un segmento che congiunge un vertice del triangolo al suo lato opposto, o al suo prolungamento; mentre con retta ceviana si intende per estensione la retta su cui giace.

Particolarmente importanti sono le ceviane concorrenti in un unico punto, detto appunto ceviano - le cui condizione di sufficienza sono dettate dal teorema di Ceva - designando sui lati opposti anche tre punti che sono i vertici del relativo triangolo ceviano il cui circumcerchio è detto cerchio ceviano.

Ceviane concorrenti[modifica | modifica sorgente]

O è il punto ceviano e AA', BB' e CC' sono le ceviane

Tre ceviane concorrenti individuano un punto ceviano che può essere sia interno che esterno al perimetro del triangolo; nel primo caso anche tutti e tre le ceviane sono interne alla figura, invece quando è esterno solo una rimane interna e lo raggiunte solo le prolungato, mentre le altre due incrociano direttamente il punto e intersecano i prolungamenti dei lati

O è il punto ceviano e AA', BB' e CC' sono le ceviane

È possibile determinare anche la lunghezza della ceviane concorrenti avendo coordinate trilineari (α, β, γ) del punto di concorrenza, le lunghezze dei rispettivi lati a, b e c i lati del triangolo, attraverso la seguente formula:

o_i = \frac{ \sqrt{l_jl_k [l_jl_k (\omega_j^2+\omega_k^2) + \omega_j\omega_k (l_j^2+l_k^2-l_i^2)]}} {l_j\omega_j + l_k\omega_k}

dove lx indica il lato e ωx la coordinata trilineare relativa del punto.

Il punto di concorrenza inoltre segna sulle tre ceviane tre rapporti ri tra la sua distanza dal vertice I e il punto di intersezione col lato opposto:

r_a = \frac{AO}{OA'}; r_b = \frac{BO}{OB'}; r_c = \frac{CO}{OC'}

Per questi rapporti valgono le seguenti relazioni di somme e prodotto:

r_a + r_b + r_c = \frac{b\beta + c\gamma}{a\alpha} + \frac{a\alpha +  c\gamma}{b\beta} + \frac{a\alpha + b\beta}{ c\gamma}
r_a r_b r_c = \frac{(a\alpha + b\beta)(b\beta + c\gamma)(a\alpha +  c\gamma)}{abc\alpha\beta\gamma}

i cui valori sono rispettivamente ≥6 e a ≥8.[1]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, Math. Assoc. Amer. 1995 pp. 138-141

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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