Teorema di Menelao

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Il teorema di Menelao è un noto teorema in geometria elementare, attribuito al matematico Menelao di Alessandria, che tratta dei triangoli nella geometria piana.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Dati un triangolo di vertici A, B, C e tre punti D, E ed F che giacciono rispettivamente sulle rette BC, AC e AB, D, E ed F sono allineati se e solo se:

[1]

In questa equazione, , , etc., rappresentano la misura dei segmenti considerati con segno. Per esempio, la frazione ha segno positivo solo quando la retta per , ed interseca il lato .

Si tiene anche conto dell'orientamento dei segmenti, cioè:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Teorema di Menelao, caso 1: la retta DEF non interseca il triangolo ABC.
Teorema di Menelao, caso 2: la retta DEF interseca il triangolo ABC.

Si osserva che il membro a sinistra dell'equazione ha segno negativo se tutti e tre i rapporti sono negativi, caso in cui la retta non interseca il triangolo, oppure un rapporto è negativo e gli altri due positivi, caso in cui la retta interseca il triangolo in due punti (si veda l'assioma di Pasch).

Si costruiscano le perpendicolari da , e su , le chiamo rispettivamente , e . Ora per similitudine di triangoli, segue che:

Cioè:

Dove l'ultima uguaglianza si è ottenuta semplificando le frazioni all'interno del modulo.

Per l'altro verso dell'implicazione:

siano ed appartenenti rispettivamente alle rette e , in modo che l'equazione valga. Sia il punto in cui le rette e si intersecano. Allora per quanto dimostrato in precedenza anche ed verificano l'equazione. Confrontandole:

Ma al più un punto può spezzare un segmento in due con un dato rapporto, quindi si conclude che:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Branko Grünbaum, G. C. Shepard, Ceva, Menelaus, and the Area Principle (PDF), in Mathematical Magazine, vol. 68, Mathematical Association of America, ottobre 1995, pp. 254-268. URL consultato il 2 agosto 2014.

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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