Teorema di Menelao

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Il teorema di Menelao è un noto teorema in geometria elementare, attribuito al matematico Menelao di Alessandria, che tratta dei triangoli nella geometria piana.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Dati un triangolo di vertici A, B, C e tre punti D, E ed F che giacciono rispettivamente sulle rette BC, AC e AB, D, E ed F sono allineati se e solo se:

\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = -1.

In questa equazione, AF, FB, etc., rappresentano la misura dei segmenti considerati con segno. Per esempio, la frazione AF/FB ha segno positivo solo quando la retta per D, E ed F interseca il lato AB.

Si tiene anche conto dell'orientamento dei segmenti, cioè:

AB=-BA

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Teorema di Menelao, caso 1: la retta DEF non interseca il triangolo ABC.
Teorema di Menelao, caso 2: la retta DEF interseca il triangolo ABC.

Si osserva che il membro a sinistra dell'equazione ha segno negativo se tutti e tre i rapporti sono negativi, caso in cui la retta DEF non interseca il triangolo, oppure un rapporto è negativo e gli altri due positivi, caso in cui la retta DEF interseca il triangolo in due punti (si veda l'assioma di Pasch).

Si costruiscano le perpendicolari da A, B e C su DEF, le chiamo rispettivamente a,b e c. Ora per similitudine di triangoli, segue che:

\left|\frac{AF}{FB}\right| = \left|\frac{a}{b}\right| \ ,\ \left|\frac{BD}{DC}\right| = \left|\frac{b}{c}\right| \ ,\ \left|\frac{CE}{EA}\right| = \left|\frac{c}{a}\right|

Cioè:

\left|\frac{AF}{FB}\right| \cdot \left|\frac{BD}{DC}\right| \cdot \left|\frac{CE}{EA}\right| = \left| \frac{a}{b}  \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} \right| = 1

Dove l'ultima uguaglianza si è ottenuta semplificando le frazioni all'interno del modulo.

Per l'altro verso dell'implicazione:

siano D ,\ E ed F appartenenti rispettivamente alle rette BC ,\ AC e AB, in modo che l'equazione valga. Sia F' il punto in cui le rette DE ed AB si intersecano. Allora per quanto dimostrato in precedenza anche D ,\ E ed F' verificano l'equazione. Confrontandole:

\frac{AF}{FB} = \frac{AF'}{F'B}

Ma al più un punto può spezzare un segmento in due con un dato rapporto, quindi si conclude che:

F = F'.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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