Teorema della mediana

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In geometria piana, il teorema della mediana è un teorema che lega la lunghezza della mediana in un triangolo alle lunghezze dei tre lati. È attribuito ad Apollonio.[1] La sua dimostrazione si può ricondurre alla legge del coseno o teorema di Carnot.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuito della metà del quadrato del primo lato.

In altri termini, con riferimento al triangolo OAB vale l'identità:

, dove M è il punto medio di AB.

Prima dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

TeoMed.png

Ponendo:

Si ha:

Elevando al quadrato scalare i membri delle ultime uguaglianze si ha:

sviluppando i calcoli si ottiene:

successivamente sommando membro a membro:

e infine:

.

Seconda dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Ponendo:

applicando, ora, il teorema del coseno ai triangoli OMA e OMB, si ha:

Sommando quindi membro a membro le ultime uguaglianze si perviene all'identità richiesta.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Apollonio di Perga, su imati.cnr.it. URL consultato il 7 ottobre 2012.
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