Teorema della mediana

In geometria piana, il teorema della mediana è un teorema che lega la lunghezza della mediana in un triangolo alle lunghezze dei tre lati. È attribuito ad Apollonio. La sua dimostrazione si può ricondurre alla legge del coseno o teorema di Carnot.

Enunciato

In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuito della metà del quadrato del primo lato.

In altri termini, con riferimento al triangolo $OAB$ vale l'identità:

$2{\overline {OM}}^{2}={\overline {OA}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}-{{\overline {AB}}^{2} \over 2},$

dove $M$ è il punto medio di $AB$.

Prima dimostrazione

Ponendo:

${\overrightarrow {\displaystyle OA}}={\vec {a}}\quad {\overrightarrow {\displaystyle OB}}={\vec {b}}\quad {\overrightarrow {\displaystyle OM}}={\vec {m}}.$

Si ha:

${\vec {a}}={\vec {m}}-{\vec {u}},\quad {\vec {b}}={\vec {m}}+{\vec {u}}.$

Elevando al quadrato scalare i membri delle ultime uguaglianze si ha:

${\vec {a}}^{2}=({\vec {m}}-{\vec {u}})^{2}\quad {\vec {b}}^{2}=({\vec {m}}+{\vec {u}})^{2}.$

Sviluppando i calcoli si ottiene:

${\vec {m}}^{2}-2{\vec {m}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}^{2}={\vec {a}}^{2}$

${\vec {m}}^{2}+2{\vec {m}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}^{2}={\vec {b}}^{2}.$

Successivamente sommando membro a membro:

$2m^{2}+2u^{2}=a^{2}+b^{2}$

e infine:

$2m^{2}=a^{2}+b^{2}-{(2u)^{2} \over 2}.$

Seconda dimostrazione

Ponendo

${\widehat {OMA}}=\theta ,\quad {\widehat {OMB}}=\pi -\theta ,$

applicando, ora, il teorema del coseno ai triangoli $OMA$ e $OMB$, si ha:

$b^{2}=m^{2}+u^{2}-2mu\cos \theta ,$

$a^{2}=m^{2}+u^{2}-2mu\cos(\pi -\theta )=m^{2}+u^{2}+2mu\cos \theta .$

Sommando quindi membro a membro le ultime uguaglianze si perviene all'identità richiesta.

Applicazione

Un'applicazione diretta del teorema della mediana riguarda una proprietà intrinseca a tutti i triangoli.

Siano $a,b$ e $c$ i lati opposti rispettivamente ai vertici $A,B$ e $C$ di un triangolo. Siano $m_{a},m_{b}$ e $m_{c}$ le mediane relative rispettivamente ai lati $a,b$ e $c$. Dal teorema delle mediane, vale quanto segue

$m_{a}^{2}={\dfrac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}},\qquad m_{b}^{2}={\dfrac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}},\qquad m_{c}^{2}={\dfrac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}.$

In particolare, la somma dei quadrati delle mediane risulta

$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\dfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})+(2a^{2}+2c^{2}-b^{2})+(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})}{4}}={\dfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).$

In conclusione, il rapporto tra la somma dei quadrati delle mediane e la somma dei quadrati dei lati è una costante, ossia

${\dfrac {m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}={\dfrac {3}{4}}.$