Legge di conservazione dell'energia: differenze tra le versioni
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== Conservazione dell'energia meccanica == |
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{{vedi anche|Bilancio di energia meccanica|Integrale primo}} |
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=== Forma debole === |
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Considerando un sistema finito si dice [[Forza conservativa|conservativa]] una forza agente su di esso se per il [[Lavoro (fisica)|lavoro]] che compie in un intorno infinitesimo di qualsiasi punto vale il [[teorema di Torricelli]], ovvero esso dipende solo dai suoi estremi di frontiera r e r+dr e non dalla traiettoria infinitesima congiungente effettivamente seguita tra tutte le possibili: |
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: <math> \operatorname d L(r) = \int_{r}^{r+\operatorname dr} \bar F \cdot \operatorname d\bar r = -U(r+\operatorname dr)+U(r) = -\operatorname dU(r) </math> |
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In questo caso abbiamo che lungo un qualsiasi percorso che abbia inizio e fine in r il lavoro di una forza conservativa è nullo: |
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: <math> \int_r^r \bar F \cdot \operatorname d\bar r = -U(r)+U(r) = 0 </math> |
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Il [[teorema del rotore]] dimostra che se il campo di forze è continuo l'annullarsi della sua circuitazione implica l'annullarsi del suo rotore, quindi è possibile rappresentare la [[forza]] come il [[gradiente]] di uno scalare chiamato [[energia potenziale]]: |
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: <math> \bar F = - \nabla U(\bar x) </math> |
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Per un [[sistema scleronomo]] inoltre il [[teorema delle forze vive]] afferma che il lavoro di tutte le forze, conservative o meno, è pari alla variazione dell'[[energia cinetica]]: |
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: <math> \operatorname d L = \operatorname d K </math> |
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Da cui |
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: <math> -\operatorname d U = \operatorname d K </math> |
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E quindi: |
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: <math> \frac {\operatorname d E}{\operatorname dt} = 0 </math> |
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dove abbiamo definito energia meccanica la somma <math>E = U+K</math> |
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Questo ragionamento dimostra che in un sistema isolato conservativo e scleronomo, l'energia meccanica è una [[costante del moto]]. |
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L'energia cinetica per un sistema continuo è esprimibile in base alla [[regola di Leibniz]] come: |
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: <math>K = \int_Q \bar v \cdot \operatorname d (m \bar v) = \int_{W^2} \frac 1 2 m \operatorname d v^2 + \int_M v^2 \operatorname d m = \frac 1 2 \int_{W^2} \int_V \rho \operatorname d r^3 \operatorname d v^2 + \int_V \rho v^2 \operatorname d r^3</math>. |
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In realtà la dissipazione di energia meccanica in un sistema può essere bilanciata dall'ingresso di forme ordinate di energia: dal [[bilancio della quantità di moto]] per un sistema continuo, deriva in via generale che perché l'energia meccanica si conservi dev'essere nulla la somma integrale: |
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: <math>\frac{\partial}{\partial t} \int_{M} u \operatorname dm - \int_{M} \frac{\partial \ln \rho}{\partial t} u \operatorname dm + \oint_{F_{\partial V}} \left( - \langle \bar v \rangle + \frac{\operatorname dr^3}{\operatorname d \bar {r^2}} \cdot \nabla \langle \bar v \rangle \right) \cdot \operatorname d \bar F_{\partial V} = 0</math> |
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ovvero in forma contratta perché l'energia meccanica si conservi la dissipazione cinetica può essere bilanciata da un calo di energia potenziale nel volume occupato dal sistema, da una conduzione cinetica netta dall'esterno o da un aumento di entropia potenziale: |
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: <math> D = - \frac{\partial U}{\partial t} + P + \Sigma</math> |
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=== Forma forte === |
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Se il campo di accelerazione esterno è conservativo, come nel caso debole è associabile al gradiente di una densità (di energia) potenziale, e in ogni punto interno al sistema di continuità delle grandezze intensive la densità di dissipazione dev'essere bilanciata dalla somma della densità di corrente cinetica in conduzione e del calo locale di densità di energia potenziale nella posizione occupata dal frammento di sistema: |
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: <math> \frac{\bar \bar \sigma : \nabla \langle \bar v \rangle}{\rho} = \frac{\nabla \cdot (\bar \bar \sigma \cdot \langle \bar v \rangle)}{\rho} - \frac{\partial u}{\partial t}</math> |
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== Meccanica Hamiltoniana == |
== Meccanica Hamiltoniana == |
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Versione delle 17:56, 22 feb 2018
«C'è un fatto, o se volete, una legge, che governa i fenomeni naturali sinora noti. Non ci sono eccezioni a questa legge, per quanto ne sappiamo è esatta. La legge si chiama “conservazione dell'energia”, ed è veramente una idea molto astratta, perché è un principio matematico: dice che c'è una grandezza numerica, che non cambia qualsiasi cosa accada. Non descrive un meccanismo, o qualcosa di concreto: è solo un fatto un po' strano: possiamo calcolare un certo numero, e quando finiamo di osservare la natura che esegue i suoi giochi, e ricalcoliamo il numero, troviamo che non è cambiato...»
In fisica, la legge di conservazione dell'energia è una delle più importanti leggi di conservazione osservata nella natura. Nella sua forma più studiata e intuitiva questa legge afferma che, sebbene l'energia possa essere trasformata e convertita da una forma all'altra, la quantità totale di essa in un sistema isolato non varia nel tempo.[1]
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Meccanica Hamiltoniana
In meccanica analitica la Hamiltoniana è la funzione associata all'energia totale del sistema. Essa è anche il generatore della trasformazione di evoluzione temporale, perciò l'evoluzione di una generica variabile dinamica sarà determinata dalla Parentesi di Poisson come segue:
Naturalmente l'Hamiltoniana di qualunque sistema ha parentesi di Poisson nulla con se stessa per definizione di parentesi di Poisson. Da cui
Perciò la hamiltoniana dipende dal tempo solo se questa dipendenza è esplicita. In altre parole, la hamiltoniana è una costante del moto (integrale primo) ogniqualvolta il sistema è descritto da vincoli scleronomi.
Meccanica quantistica
Il medesimo ragionamento può essere riprodotto per la meccanica quantistica parlando di operatore hamiltoniano e compiendo la sostituzione della parentesi di Poisson con il commutatore:
![{\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}\longrightarrow {\frac {1}{i\hbar }}[\cdot ,\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b805423a29c47a4ac33ecfdbbcca1cc820f530)
La conservazione dell'energia esclude la possibilità di un moto perpetuo di prima specie.
In Relatività ristretta si mostra che anche la massa è una forma di energia (la famosa formula ) ed in caso di conversioni massa/energia va tenuta in conto nel bilancio energetico.
In Relatività generale non è possibile definire l'energia in maniera gauge-invariante per cui la conservazione dell'energia risulta un problema sottile difficile da risolvere in termini del tutto generali[2].
Note
- ^ Legge di conservazione dell'energia su Sapere.it
- ^ (EN) [1]
Voci correlate
- Integrale primo
- Pendolo di Wilberforce
- Primo principio della termodinamica
- Principio di conservazione
Collegamenti esterni
- Is Energy Conserved in General Relativity? (in inglese, dalle Usenet Physics FAQ, a cura di Scott Chase, Michael Weiss, Philip Gibbs, Chris Hillman, e Nathan Urban)
- Template:Thesaurus BNCF
| Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 32705 · LCCN (EN) sh85043124 · GND (DE) 4152219-9 · BNF (FR) cb11969457b (data) · J9U (EN, HE) 987007543207805171 |
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