Operatore nabla

In matematica, ed in particolare nel calcolo vettoriale e nell'analisi matematica, il nabla indicato col simbolo $\mathbf {\nabla }$ è un operatore differenziale vettoriale. Il simbolo è chiamato, molto raramente e solo nel mondo anglosassone, anche atled (delta letto al contrario) a causa della sua forma a delta ($\Delta$) rovesciato. Il nome più comunemente utilizzato nella letteratura anglosassone è però "del".

Il nabla è una convenzione matematica che consente di scrivere, con una notazione compatta, gli operatori differenziali jacobiana, gradiente, divergenza e rotore.

Qualora lo spazio vettoriale nel quale il nabla agisce sia uni-dimensionale, la definizione del nabla coincide con l'ordinaria derivata.

Il termine deriva dal nome di uno strumento musicale a corda della tradizione ebraica europea, il nebel, simile ad un'arpa, ovvero simile ad una viola o ad un violino ma avente una cassa acustica di profilo triangolare, che richiama appunto quella di un delta rovesciato.

Il simbolo è stato utilizzato per la prima volta dal matematico e fisico William Rowan Hamilton nella forma di un delta sdraiato ⊲. In greco il simbolo è chiamato ανάδελτα, anádelta, ovvero delta rovesciato. Nel linguaggio anglosassone il simbolo nabla, quando è un operatore matematico, è chiamato del.

Il simbolo è disponibile nel codice HTML come ∇ e nel codice LaTeX come \nabla. Nella codifica Unicode è rappresentato nella cella U+2207 o, in notazione decimale, 8711.

Definizione

In uno spazio tridimensionale $\mathbb {R} ^{3}$ generato da un sistema di coordinate cartesiane $x,y,z$ con versori indicati ${\hat {\mathbf {i} }}$, ${\hat {\mathbf {j} }}$ e ${\hat {\mathbf {k} }}$, il nabla è definito come:

$\nabla \,\,{\stackrel {\Delta }{=}}\,\,{\hat {\mathbf {i} }}{\partial \over \partial x}+{\hat {\mathbf {j} }}{\partial \over \partial y}+{\hat {\mathbf {k} }}{\partial \over \partial z}$

La generalizzazione per uno spazio $\mathbb {R} ^{n,m}$ con funzioni di $n$ variabili a $m$ valori, viene scritta:

$\nabla =\sum _{i=1}^{n}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$

Usi del nabla

L'operatore nabla consente di scrivere con una notazione compatta ed intuitiva gli operatori differenziali del gradiente, la divergenza, il rotore, la derivata direzionale, il laplaciano:

• Gradiente:

$\mathrm {grad} \,f=\nabla f$

• Divergenza:

$\mathrm {div} \,{\vec {v}}=\nabla \cdot {\vec {v}}$

• Rotore:

$\mathrm {rot} \,{\vec {v}}=\nabla \times {\vec {v}}$

• Laplaciano:

$\nabla \cdot \nabla f=\nabla ^{2}f$

dove $f$ è una funzione reale di una o più variabili reali, mentre ${\vec {v}}$ è un campo, cioè una funzione vettoriale di una o più variabili reali. Il simbolo $\cdot$ rappresenta il prodotto scalare, mentre $\times$ il prodotto vettoriale.

Questo consente di semplificare la scrittura anche di complicate equazioni differenziali.

Definizione intrinseca

La definizione data sopra è in realtà una definizione informale che dipende dal sistema di coordinate prescelto. Si può tuttavia definire il nabla con una definizione intrinseca più generale, indipendente dal sistema di coordinate:

$\nabla \star f=\lim _{V\to 0}{\frac {1}{V}}\oint _{\partial V}\operatorname {d} \mathbf {S} \star f$

in cui $\star$ rappresenta un prodotto arbitrario (scalare, vettoriale, tensoriale o per uno scalare), mentre $f$ è un campo scalare, vettoriale o tensoriale. $\partial V$ è la superficie frontiera del volume $V$ che nel limite si riduce a un punto. In questo modo si possono definire in maniera intrinseca il gradiente, la divergenza, il rotore e gli altri operatori differenziali.

Coordinate sferiche

Le equazioni che trasformano le coordinate polari in coordinate cartesiane sono:

$x=r\,\sin \theta \,\cos \phi$

$y=r\,\sin \theta \,\sin \phi$

$z=r\,\cos \theta$

Sfruttando la regola di derivazione a catena si può scrivere:

${\frac {\partial }{\partial r}}={\frac {\partial x}{\partial r}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial y}{\partial r}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {\partial z}{\partial r}}{\frac {\partial }{\partial z}}$

${\frac {\partial }{\partial \theta }}={\frac {\partial x}{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial y}{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {\partial z}{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial z}}$

${\frac {\partial }{\partial \phi }}={\frac {\partial x}{\partial \phi }}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial y}{\partial \phi }}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {\partial z}{\partial \phi }}{\frac {\partial }{\partial z}}$

la stessa cosa, usando la notazione con matrici e vettori, si scrive:

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial r}}\\{\frac {\partial }{\partial \theta }}\\{\frac {\partial }{\partial \phi }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &\sin \theta \,\sin \phi &\cos \theta \\r\,\cos \theta \,\cos \phi &r\,\cos \theta \,\sin \phi &-r\,\sin \theta \\-r\,\sin \theta \,\sin \phi &r\,\sin \theta \,\cos \phi &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}$

o anche in forma più compatta:

$\nabla _{r}=AB\nabla$

avendo definito:

$\nabla _{r}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial r}}\\{\frac {\partial }{\partial \theta }}\\{\frac {\partial }{\partial \phi }}\end{pmatrix}}$

$\nabla ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}$

$A={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r&0\\0&0&r\,\sin \theta \end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &\sin \theta \,\sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \,\cos \phi &\cos \theta \,\sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{pmatrix}}$

Si noti che:

$A^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{r}}&0\\0&0&{\frac {1}{r\,\sin \theta }}\end{pmatrix}}$

$B^{-1}=B^{T}=b_{1}+b_{2}+b_{3}$

con

$b_{1}={\begin{pmatrix}\sin \theta \,\cos \phi \\\sin \theta \,\sin \phi \\\cos \theta \end{pmatrix}}$

$b_{2}={\begin{pmatrix}\cos \theta \,\cos \phi \\\cos \theta \,\sin \phi \\-\sin \theta \end{pmatrix}}$

$b_{3}={\begin{pmatrix}-\sin \phi \\\cos \phi \\0\end{pmatrix}}$

$b_{2}={\frac {\partial b_{1}}{\partial \theta }}$

$b_{3}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial b_{1}}{\partial \phi }}={\frac {1}{\cos \theta }}{\frac {\partial b_{2}}{\partial \phi }}$

$b_{i}\cdot b_{j}=\delta _{ij}$

$b_{i}\times b_{j}=\epsilon _{ijk}b_{k}$

Con quanto suddetto l'operatore gradiente in coordinate polari si esprime:

$\nabla =B^{-1}A^{-1}\nabla _{r}=\left(b_{1}{\frac {\partial }{\partial r}},b_{2}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }},b_{3}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)$

Si ha:

$b_{1}{\frac {\partial }{\partial r}}\cdot b_{1}{\frac {\partial }{\partial r}}=b_{1}\cdot \left({\frac {\partial b_{1}}{\partial r}}\right){\frac {\partial }{\partial r}}+b_{1}\cdot b_{1}{\frac {\partial }{\partial r}}{\frac {\partial }{\partial r}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}$

$b_{1}{\frac {\partial }{\partial r}}\cdot b_{2}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}=b_{1}\cdot b_{2}{\frac {\partial }{\partial r}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}=0$

$b_{1}{\frac {\partial }{\partial r}}\cdot b_{3}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}=b_{1}\cdot b_{3}{\frac {\partial }{\partial r}}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}=0$

$b_{2}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\cdot b_{1}{\frac {\partial }{\partial r}}=b_{2}\cdot \left({\frac {\partial b_{1}}{\partial \theta }}\right){\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+b_{2}\cdot b_{1}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}$

$b_{2}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\cdot b_{2}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}=b_{2}\cdot \left({\frac {\partial b_{2}}{\partial \theta }}\right){\frac {1}{r}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+b_{2}\cdot b_{2}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}$

$b_{2}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\cdot b_{3}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}=b_{2}\cdot b_{3}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}=0$

$b_{3}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\cdot b_{1}{\frac {\partial }{\partial r}}=b_{3}\cdot \left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial b_{1}}{\partial \phi }}\right){\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+b_{3}\cdot b_{1}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\frac {\partial }{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}$

$b_{3}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\cdot b_{2}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}=b_{3}\cdot \left({\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {1}{\cos \theta }}{\frac {\partial b_{2}}{\partial \phi }}\right){\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+b_{3}\cdot b_{2}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}=$

$={\frac {\cot \theta }{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}$

$b_{3}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\cdot b_{3}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}=b_{3}\cdot \left({\frac {\partial b_{3}}{\partial \phi }}\right){\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}+b_{3}\cdot b_{3}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}=$

$={\frac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}$

da cui si ricava l'espressione del laplaciano in coordinate polari:

$\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {\cot \theta }{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}=$

$={\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)$

Si trovano facilmente anche gli operatori $x\times \nabla$ (il legendriano) e $\left(x\times \nabla \right)^{2}$, che sono strettamente legati a $L$ e $L^{2}$ nella teoria dei momenti angolari della meccanica quantistica, infatti:

$x\times \nabla =r\,b_{1}\times \left(b_{1}{\frac {\partial }{\partial r}}+b_{2}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+b_{3}{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)=b_{3}{\frac {\partial }{\partial \theta }}-b_{2}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}$

e calcolando:

$b_{2}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\cdot b_{2}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}=b_{2}\cdot \left({\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {1}{\cos \theta }}{\frac {\partial b_{2}}{\partial \phi }}\right){\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}+b_{2}\cdot b_{2}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}$

$b_{2}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\cdot b_{3}{\frac {\partial }{\partial \theta }}=b_{2}\cdot \left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial b_{3}}{\partial \phi }}\right){\frac {\partial }{\partial \theta }}+b_{2}\cdot b_{3}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}$

$b_{3}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\cdot b_{2}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}=b_{3}\cdot \left({\frac {\partial b_{2}}{\partial \theta }}\right){\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}+b_{3}\cdot b_{2}{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}=0$

$b_{3}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\cdot b_{3}{\frac {\partial }{\partial \theta }}=b_{3}\cdot \left({\frac {\partial b_{3}}{\partial \theta }}\right){\frac {\partial }{\partial \theta }}+b_{3}\cdot b_{3}{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}={\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}$

si ottiene:

$\left(x\times \nabla \right)^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}$

L'operatore $\left(x\times \nabla \right)^{2}$ rappresenta la parte angolare di $\nabla ^{2}$ e si può scrivere un'altra espressione importante per il laplaciano:

$\nabla ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+\left(x\times \nabla \right)^{2}\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+\left({\frac {x\times \nabla }{r}}\right)^{2}$

Voci correlate

• Matrice jacobiana
• Gradiente
• Divergenza
• Laplaciano
• Rotore (fisica)
• Derivata parziale
• Calcolo vettoriale
• Nabla in coordinate cilindriche e sferiche