Spazio di Schwartz: differenze tra le versioni
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* Usando la [[regola di Leibniz]], segue che <math>\mathcal{S}</math> è chiuso anche sotto moltiplicazione; se <math>f,g \in \mathcal{S}</math>, allora <math>f,g: x\mapsto f(x)g(x)</math> appartiene ancora a <math>\mathcal{S}</math>. |
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* Per ogni <math>1 \le p \le \infty</math>, si ha che <math>\mathcal{S}\subset L^p,</math> dove <math>L^ |
* Per ogni <math>1 \le p \le \infty</math>, si ha che <math>\mathcal{S}\subset L^p,</math> dove <math>L^p(\R^n)</math> rappresenta lo [[spazio Lp]] su <math>\R^n</math>. Le funzioni in <math>\mathcal{S}</math> sono anche [[funzione limitata|funzioni limitate]]. |
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* La [[trasformata di Fourier]] è un isomorfismo lineare <math>\mathcal{S} \to \mathcal{S}</math>.<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 319|reed}}</ref> |
* La [[trasformata di Fourier]] è un isomorfismo lineare <math>\mathcal{S} \to \mathcal{S}</math>.<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 319|reed}}</ref> |
Versione delle 12:08, 19 mar 2017
In matematica, lo spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida è lo spazio funzionale delle funzioni lisce le cui derivate (e le funzioni stesse) decrescono più velocemente di un polinomio.
Indicato con , lo spazio di Schwartz è caratterizzato dall'importante fatto che su di esso la trasformata di Fourier è un endomorfismo. Grazie a questa proprietà è possibile definire la trasformata di Fourier sugli elementi nello spazio duale di , che è lo spazio delle distribuzioni temperate.
Lo spazio di Schwartz prende il nome del matematico Laurent Schwartz.
Definizione
Data una funzione , si definisca la norma:
dove e sono multiindici, e:
Lo spazio di Schwartz su è lo spazio funzionale:[1]
dove è lo spazio delle funzioni con tutte le derivate continue da a .
Ad esempio, se i è un multiindice e è un numero reale positivo, allora appartiene allo spazio di Schwartz. Anche ogni funzione con supporto compatto appartiene a . Questo è evidente per la continuità di ogni derivata, quindi ha un massimo in .
Lo spazio duale di è lo spazio delle distribuzioni temperate.
Proprietà
- è uno spazio vettoriale complesso, cioè chiuso rispetto a somma e moltiplicazione per scalari complessi.
- Usando la regola di Leibniz, segue che è chiuso anche sotto moltiplicazione; se , allora appartiene ancora a .
- Per ogni , si ha che dove rappresenta lo spazio Lp su . Le funzioni in sono anche funzioni limitate.
- La trasformata di Fourier è un isomorfismo lineare .[2]
- Lo spazio di Schwartz è completo.
- è denso in perché per esempio la base hilbertiana di con i polinomi di Hermite appartiene a .
Note
- ^ Reed, Simon, Pag. 133
- ^ Reed, Simon, Pag. 319
Bibliografia
- (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.