Relazione (matematica): differenze tra le versioni
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In matematica una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due o più insiemi.
Definizione
Relazione tra due insiemi
Una relazione tra due insiemi e (o relazione binaria) è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano, .
Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni
e quando sono verificate si dice che è in relazione con (secondo la relazione ).
Relazione tra più di due insiemi
Una relazione tra n insiemi è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano , ovvero un insieme di n-uple ordinate . È anche detta relazione n-aria (in casi specifici anche ternaria, quaternaria, eccetera). Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni
Con notazione diversa, una relazione su una famiglia di insiemi è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano .
Formalmente è possibile definire una relazione su un solo insieme (anche detta una relazione unaria o proprietà):
L'insieme è (banalmente) l'insieme degli elementi che godono della proprietà di appartenere ad .
Proprietà
Si dice che , relazione binaria, è una relazione di equivalenza, o più semplicemente equivalenza se è:
- Riflessiva:
- Simmetrica:
- Transitiva:
Si dice che , relazione binaria, è un ordine se è:
- Riflessiva:
- Antisimmetrica:
- Transitiva:
In più è totale se vale la linearità o totalità.
Esempi
- L'ordine stretto maggiore sui numeri reali mette in relazione coppie di numeri reali
ovvero è in relazione maggiore con quando (cioè ).
- Sui numeri naturali, la differenza mette in relazione triple secondo
- Ogni funzione è una relazione
e può essere identificata con il suo grafico.
- Su numeri reali la positività () è una relazione:
- Una relazione di equivalenza è una relazione.
Applicazioni
Informatica
Le "relazioni" che vengono utilizzate nelle basi di dati sono davvero delle relazioni:
- nel modello entità-relazioni le relazioni sono relazioni tra gli insiemi entità
- nel modello relazionale le relazioni sono relazioni tra gli insiemi domini; la rappresentazione tabulare delle t-uple è la rappresentazione per elencazione delle n-uple (in inglese t-uples).