Operatore differenziale: differenze tra le versioni
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In [[matematica]] un '''operatore differenziale''' è un [[Operatore (matematica)|operatore]] definito come una funzione dell'operatore di [[derivata|derivazione]]. |
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Solitamente si considerano operatori differenziali [[trasformazione lineare|lineare]], esposti nel seguito. |
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==Operatori differenziali lineari== |
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In generale un operatore è rappresentato da una matrice quadrata e il prodotto scalare <math>\langle g|Af \rangle</math> è un elemento della matrice. |
In generale un operatore è rappresentato da una matrice quadrata e il prodotto scalare <math>\langle g|Af \rangle</math> è un elemento della matrice. |
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==Proprietà== |
===Proprietà=== |
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Valgono le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali. Le loro proprietà sono: |
Valgono le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali. Le loro proprietà sono: |
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:<math>(A+B) f = Af + Bf \qquad (A \cdot B) f = A(Bf) \qquad (AB)C = A(BC) \qquad A(B+C) = AB + AC</math> |
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# <math>A(B+C) = AB + AC</math> |
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Come nel caso delle matrici in generale il prodotto tra operatori differenziali lineari non è commutativo: |
Come nel caso delle matrici in generale il prodotto tra operatori differenziali lineari non è commutativo: |
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:<math>AB - BA = [A,B]</math> |
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Ogni [[polinomio]] in <math>D</math> con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola: |
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:(''D''<sub>1</sub>o''D''<sub>2</sub>)(f) = ''D''<sub>1</sub> [''D''<sub>2</sub>(''f'')]. |
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Ogni coefficiente funzionale dell'operatore |
Ogni coefficiente funzionale dell'operatore <math>D_2</math> deve essere [[differenziabile]] tante volte quanto l'operatore <math>D_1</math> richiede. Per ottenere un [[anello (algebra)|anello]] di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre, questo anello non è [[commutativo]] poichè un operatore <math>gD</math> non è in generale uguale a <math>Dg</math>. Per esempio, si veda la relazione in [[meccanica quantistica]]: |
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:<math>Dx -xD = 1 \ </math> |
:<math>Dx -xD = 1 \ </math> |
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Il sottoanello |
Il sottoanello degli operatori che sono polinomi in <math>D</math> con coefficienti costanti è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione. |
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===Potenza=== |
===Potenza=== |
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Definiamo |
Definiamo ''potenza ennesima'' di un operatore: |
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:<math>F(A) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n A^n</math> |
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Se la funzione <math>F(A)</math> è sviluppabile in serie di potenze: |
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{{vedi anche|Operatore aggiunto}} |
{{vedi anche|Operatore aggiunto}} |
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Dato un operatore lineare differenziale: |
Dato un operatore lineare differenziale: |
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: <math>Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math> |
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l'aggiunto di tale operatore è definito come l'operatore <math>T^*</math> tale che: |
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: <math>\langle u,Tv \rangle = \langle T^*u, v \rangle</math> |
: <math>\langle u,Tv \rangle = \langle T^*u, v \rangle</math> |
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dove la notazione <math>\langle,\rangle</math> indica il [[prodotto scalare]] o [[prodotto interno]]. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizionne di prodotto scalare. |
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Nello spazio funzionale delle [[funzione a quadrato sommabile|funzioni a quadrato sommabile]], il prodotto scalare è definito da: |
dove la notazione <math>\langle,\rangle</math> indica il [[prodotto scalare]] o [[prodotto interno]]. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizionne di prodotto scalare. Nello spazio funzionale delle [[funzione a quadrato sommabile|funzioni a quadrato sommabile]], il prodotto scalare è definito da: |
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: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx. </math> |
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Se a questo aggiungiamo la condizione che |
: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx </math> |
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Se a questo aggiungiamo la condizione che <math>f</math> e <math>g</math> tendono a zero per <math>x \to a</math> e <math>x \to b</math>, è allora possibile definire l'aggiunto come: |
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L'operatore di [[Teoria di Sturm-Liouville|Sturm-Liouville]] è un esempio ben conosciuto di operatore formale [[operatore autoaggiunto|autoaggiunto]]. L'operatore differenziale del secondo ordine |
L'operatore di [[Teoria di Sturm-Liouville|Sturm-Liouville]] è un esempio ben conosciuto di operatore formale [[operatore autoaggiunto|autoaggiunto]]. L'operatore differenziale del secondo ordine <math>L</math> può essere scritto nella forma: |
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: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u\;</math> |
: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u\;</math> |
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Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra: |
Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra: |
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: <math>\begin{matrix} |
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: <math>= -D^2(pu) + D(p'u)+qu = -(pu)''+(p'u)'+qu =</math> |
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: <math>= -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu =</math> |
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: <math>= -p'u'-pu''+qu = -(pu')'+qu = Lu</math> |
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&=& -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu \\ |
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&=& -p'u'-pu''+qu \\ |
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&=& -(pu')'+qu |
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&=& Lu\\ |
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\end{matrix}</math> |
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Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella [[Teoria di Sturm-Liouville]] dove vengono esaminate le [[autofunzione|autofunzioni]] di questo operatore (analoghe agli [[autovettori]]) |
Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella [[Teoria di Sturm-Liouville]] dove vengono esaminate le [[autofunzione|autofunzioni]] di questo operatore (analoghe agli [[autovettori]]) |
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==Notazioni== |
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⚫ | Il più semplice operatore differenziale è la [[derivata]]. Una notazione comune è <math>{d \over dx}</math> o <math>D_x</math>, mentre quando la variabile di differenziazione non necessita di essere esplicitata si usa solo <math>D</math>. Per le derivate successive si usa rispettivamente <math>d^n \over dx^n</math>, <math>D^n</math> e <math>D^n_x</math>. La notazione <math>D</math> è accreditata a [[Oliver Heaviside]], che considerava gli operatori differenziali della forma <math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math> nello studio delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]]. |
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La stessa costruzione può essere usata con le [[derivata parziale|derivate parziali]]. |
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* [[Operatore ellittico]] |
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* [[Operatore parabolico]] |
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* [[Operatore iperbolico]] |
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* [[Operatore differenziale lineare]] |
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* [[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica]] |
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* [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica]] |
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* [[Equazione differenziale alle derivate parziali parabolica]] |
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* [[Equazione delle onde]] |
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Versione delle 17:12, 31 dic 2012
In matematica un operatore differenziale è un operatore definito come una funzione dell'operatore di derivazione.
Solitamente si considerano operatori differenziali lineare, esposti nel seguito.
Operatori differenziali lineari
Un operatore differenziale lineare è un particolare operatore differenziale che agisce come una trasformazione lineare, cioè conserva le operazioni di somma e prodotto. Le nozioni che valgono per gli operatori lineari sono validi particolarmente per gli operatori differenziali lineari che sono una parte importante degli operatori lineari. Un operatore differenziale lineare può essere scritto nella forma più generale:
che applicato ad un elemento dello spazio funzionale :
In generale un operatore è rappresentato da una matrice quadrata e il prodotto scalare è un elemento della matrice.
Proprietà
Valgono le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali. Le loro proprietà sono:
Come nel caso delle matrici in generale il prodotto tra operatori differenziali lineari non è commutativo:
Definendo commutatore:
si può dire che due operatori commutano se e solo se: .
Polinomi
Ogni polinomio in con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola:
Ogni coefficiente funzionale dell'operatore deve essere differenziabile tante volte quanto l'operatore richiede. Per ottenere un anello di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre, questo anello non è commutativo poichè un operatore non è in generale uguale a . Per esempio, si veda la relazione in meccanica quantistica:
Il sottoanello degli operatori che sono polinomi in con coefficienti costanti è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.
Potenza
Definiamo potenza ennesima di un operatore:
Se la funzione è sviluppabile in serie di potenze:
Operatore aggiunto
Dato un operatore lineare differenziale:
l'aggiunto di tale operatore è definito come l'operatore tale che:
dove la notazione indica il prodotto scalare o prodotto interno. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizionne di prodotto scalare. Nello spazio funzionale delle funzioni a quadrato sommabile, il prodotto scalare è definito da:
Se a questo aggiungiamo la condizione che e tendono a zero per e , è allora possibile definire l'aggiunto come:
Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di operatore aggiunto formale.
L'operatore di Sturm-Liouville è un esempio ben conosciuto di operatore formale autoaggiunto. L'operatore differenziale del secondo ordine può essere scritto nella forma:
Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra:
Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella Teoria di Sturm-Liouville dove vengono esaminate le autofunzioni di questo operatore (analoghe agli autovettori)
Notazioni
Il più semplice operatore differenziale è la derivata. Una notazione comune è o , mentre quando la variabile di differenziazione non necessita di essere esplicitata si usa solo . Per le derivate successive si usa rispettivamente , e . La notazione è accreditata a Oliver Heaviside, che considerava gli operatori differenziali della forma nello studio delle equazioni differenziali.
Uno dei più frequenti operatori differenziali è il laplaciano, definito come:
Un altro operatore differenziale è l'operatore , definito come: