Automorfismo interno: differenze tra le versioni

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Versione delle 15:56, 8 ott 2008

Un automorfismo interno di un gruppo è un automorfismo indotto da un elemento g del gruppo tramite coniugio, cioè un automorfismo nella forma

T_{g}(x)=g^{-1}xg

per un elemento fissato g del gruppo. Un automorfismo che non è interno è detto esterno.

Infatti questa la funzione è un omomorfismo iniettivo e suriettivo, ovvero un isomorfismo. Inoltre due elementi g ed h che appartengono allo stesso laterale del centro Z inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se g=hz con z nel centro allora $g^{-1}xg$ = $z^{-1}h^{-1}xhz$ = $h^{-1}xh$ . Ovviamente in un gruppo abeliano l'unico automorfismo interno è l'identità.

L'insieme degli automorfismi interni forma un gruppo, denotato con Inn(G), che è un sottogruppo normale del gruppo Aut(G) degli automorfismi del gruppo G. Inn(G) è isomorfo al gruppo quoziente G/Z(G), dove Z(G) è il centro di G.

Nel gruppo simmetrico su n elementi, se n è diverso da 6, tutti gli automorfismi sono interni.

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-Gli '''automorfismi interni''' di un gruppo sono gli automorfismi indotti da ogni elemento ''g'' del gruppo tramite [[coniugio]].
+Un '''automorfismo interno''' di un [[gruppo (matematica)|gruppo]] è un [[automorfismo]] indotto da un elemento ''g'' del gruppo tramite [[coniugio]], cioè un automorfismo nella forma
+:<math>T_g(x)=g^{-1}xg</math>
-Infatti, fissato ''g'', la funzione che associa a ogni ''x'' del gruppo il suo coniugato <math>g^{-1}xg</math>, è un [[omomorfismo]] [[iniettivo]] e [[suriettivo]] ovvero un [[isomorfismo]]. Inoltre due elementi ''g'' ed ''h'' che appartengono allo stesso laterale del [[centro]] ''Z'' inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se ''g''=''hz'' con ''z'' nel centro allora <math>g^{-1}xg</math> = <math>z^{-1}h^{-1}xhz</math> = <math>h^{-1}xh</math>. Ovviamente in un [[gruppo abeliano]] l'unico automorfismo interno è l' identità.
+per un elemento fissato ''g'' del gruppo. Un automorfismo che non è interno è detto [[automorfismo esterno|esterno]].
+Infatti questa la funzione è un [[omomorfismo]] [[iniettivo]] e [[suriettivo]], ovvero un [[isomorfismo]]. Inoltre due elementi ''g'' ed ''h'' che appartengono allo stesso laterale del [[centro]] ''Z'' inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se ''g''=''hz'' con ''z'' nel centro allora <math>g^{-1}xg</math> = <math>z^{-1}h^{-1}xhz</math> = <math>h^{-1}xh</math>. Ovviamente in un [[gruppo abeliano]] l'unico automorfismo interno è l'identità.
-Nel [[gruppo simmetrico]] su n elementi, se n è diverso da 6, tutti gli automorfismi sono interni.
+L'insieme degli automorfismi interni forma un gruppo, denotato con Inn(G), che è un [[sottogruppo normale]] del gruppo Aut(G) degli automorfismi del gruppo G. Inn(G) è [[isomorfo]] al [[gruppo quoziente]] G/Z(G), dove Z(G) è il [[centro di un gruppo|centro]] di G.
+Nel [[gruppo simmetrico]] su ''n'' elementi, se ''n'' è diverso da 6, tutti gli automorfismi sono interni.
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