Teorema binomiale: differenze tra le versioni
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:<math>(a+b)^1 = \sum_{k=0}^1 {1 \choose k} a^{(1-k)} b^{k} = a+b</math> |
:<math>(a+b)^1 = \sum_{k=0}^1 {1 \choose k} a^{(1-k)} b^{k} = a+b</math> |
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e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione |
e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente <math>n</math> qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione |
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:<math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{(n-k)} b^k</math> |
:<math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{(n-k)} b^k,</math> |
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si ha |
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sicuramente vera per <math>n=1</math>, si ha |
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:<math>(a+b)^{n+1}</math><math>=(a+b)(a+b)^n</math> |
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:<math>=(a+b)\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}</math> |
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moltiplicando la sommatoria per <math>(a+b)</math> si ha |
e moltiplicando la sommatoria per <math>(a+b)</math> si ha |
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:<math>=\sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k} |
:<math>=\sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k} |
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b^{k+1}</math> |
b^{k+1},</math> |
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da cui |
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:<math>\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}</math> |
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:<math>= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}</math> |
:<math>= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}</math> |
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:<math>= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}</math> |
:<math>= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}.</math> |
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Inoltre |
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ed inoltre |
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:<math>\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}</math> |
:<math>\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}</math> |
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:<math>= \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1} |
:<math>= \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1}.</math> |
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Utilizzando nel primo passaggio la [[coefficiente binomiale#Proprietà|proprietà del coefficiente binomiale]] |
Utilizzando nel primo passaggio la [[coefficiente binomiale#Proprietà|proprietà del coefficiente binomiale]] |
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:<math>={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n} |
:<math>={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n} |
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:<math>\ {n \choose n} = {n+1 \choose n+1} = 1</math> |
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si ha che |
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Versione delle 16:06, 6 set 2021
«Il binomio di Newton è bello come la Venere di Milo, peccato che pochi se ne accorgano.»
In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza -esima di un binomio qualsiasi mediante la formula[1]
- ,
in cui il fattore rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con . Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.[2]
Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.
Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi relativi a , ed :
Nel caso in cui sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).
Esposizione
È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di in una sommatoria nella forma
dove rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:
Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo ad e a , considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:
o, in maniera equivalente,
Prima dimostrazione (induttiva)
Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero
e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione
si ha
e moltiplicando la sommatoria per si ha
da cui
Inoltre
Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale
si ha che
Poiché infine
e
si ha che
e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio
che conferma la tesi.
Seconda dimostrazione (combinatoria)
Se scriviamo come il prodotto
con fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo volte e volte dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da .
Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di da a , si ha subito la tesi.
Caso di esponente generale
La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per , nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.
Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia dove il resto indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.
Lo sviluppo completo è
- ,
dove è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da
- .
Dimostrazione
Lo sviluppo attorno all'origine della funzione è
e, poiché
si ottiene
che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al -esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine .
Note
- ^ (EN) The Story of the Binomial Theorem by J. L. Coolidge, su jstor.org, The American Mathematical Monthly, 1949, 147–157.
- ^ I coefficienti binomiali e il binomio di Newton (PDF), su lsgobetti.it. URL consultato il 22 novembre 2014 (archiviato dall'url originale il 3 settembre 2013).
Voci correlate
Altri progetti
- Wikiquote contiene citazioni di o su teorema binomiale
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su teorema binomiale
Collegamenti esterni
- (EN) binomial theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema binomiale, su MathWorld, Wolfram Research.
Controllo di autorità | GND (DE) 4703915-2 · NDL (EN, JA) 00568502 |
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