Ipocicloide

L'ipocicloide è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette ovvero delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da un punto di una circonferenza che rotola sulla parte interna di un'altra circonferenza. Essa è un caso particolare di ipotrocoide.

Forma matematica

Due ipocicloidi. La prima ha un rapporto a/b pari a 5/3 ed è una curva chiusa con 5 cuspidi. La seconda ha un rapporto fra i raggi irrazionale (1/ √ 2) ed è una curva aperta con un numero infinito di cuspidi (solo una parte del grafico è mostrata).

La rappresentazione parametrica di un'ipocicloide generata da una circonferenza di raggio $b$ che rotola su di una circonferenza di raggio $a$ (con $a>b$) è data da:

$x=\left(a-b\right)\cos \phi +b\cos \left({\frac {a-b}{b}}\phi \right)$
$y=\left(a-b\right)\sin \phi -b\sin \left({\frac {a-b}{b}}\phi \right)$.

L'ipocicloide è una funzione continua ed è differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi.

Se ${\frac {a}{b}}$ è un numero razionale allora l'ipocicloide è una curva chiusa con ${\frac {a}{b}}$ cuspidi. In particolare se ${\frac {a}{b}}=n\in \mathbb {N}$ allora l'ipocicloide ha $n$ cuspidi, mentre se ${\frac {a}{b}}\in \mathbb {Q-Z}$ allora l'ipocicloide ha un numero di cuspidi pari al numeratore della frazione ai minimi termini che deriva da ${\frac {a}{b}}$ (quindi supponendo $(a,b)=1$ abbiamo esattamente $a$ cuspidi). Se invece ${\frac {a}{b}}$ è un numero irrazionale la curva non si chiude mai.

Esempi di ipocicloidi. Nelle prime tre righe sono rappresentate ipocicloidi con un rapporto tra a e b razionale, invece, nell'ultima riga il rapporto tra a e b è irrazionale. Al primo gruppo appartengono tutte ipocicloidi chiuse, al secondo tutte ipocicloidi aperte.

Voci correlate

• Rulletta
• Ipotrocoide
• Cicloide
• Epicicloide
• Astroide

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Hypocycloid, in MathWorld, Wolfram Research.