Tensore metrico: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], e più precisamente in [[geometria differenziale]], il '''tensore metrico''' è un [[ |
In [[matematica]], e più precisamente in [[geometria differenziale]], il '''tensore metrico''' è un [[campo tensoriale]] che caratterizza la geometria di una [[varietà (geometria)|varietà]]. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di [[distanza (matematica)|distanza]], angolo, lunghezza di una curva, [[geodetica]], [[curvatura]]. |
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Definiamo infatti prodotto scalare tra due vettori la quantità |
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== Definizioni == |
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<math>\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = x_{i}g^{ij}y_{j}</math> |
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=== Prodotto scalare non degenere in ogni punto === |
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Un '''tensore metrico''' è un [[campo tensoriale]] <math> g </math> definito su una [[varietà differenziabile]], di tipo <math>(2,0)</math>, [[tensore simmetrico|simmetrico]] e [[prodotto scalare non degenere|non degenere]] in ogni punto. |
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Il tensore definisce quindi in ogni punto un [[prodotto scalare non degenere]] fra i vettori dello [[spazio tangente]] nel punto. |
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dove <math>g^{ij}</math> è la componente della i-esima riga e la j-esima colonna della matrice rappresentante il tensore metrico, <math>x_{i}</math> ed <math>y_{j}</math> rispettivamente la i-esima componente del vettore x e la j-esima componente del vettore y ed ho usato la [[notazione di Einstein]] secondo cui sugli indici ripetuti si somma; definiamo poi norma di un vettore (o modulo) la quantità |
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<math>|\mathbf{x}|=(\mathbf{x}\cdot \mathbf{x})^{1/2}=\left(x_i g^{ij} x_j\right)^{1/2}</math> |
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=== Coordinate === |
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e distanza tra due vettori la quantità |
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Il tensore è indicato in coordinate come <math>g_{ij}</math>. Per ogni punto <math> x </math> della varietà, fissato una [[atlante (topologia)|carta]] locale, il tensore in <math> x </math> è rappresentato quindi da una [[matrice simmetrica]] <math>g_{ij}(x)</math> con [[determinante]] diverso da zero. Come tutti i campi tensoriali, la matrice cambia in modo [[funzione differenziabile|differenziabile]] al variare di <math>x</math> all'interno della carta. |
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=== Segnatura === |
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<math>d(\mathbf{x},\mathbf{y})=|\mathbf{x}-\mathbf{y}|=((\mathbf{x}-\mathbf{y})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y}))^{1/2}</math> |
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Poiché il determinante non si annulla mai, la [[segnatura (algebra lineare)|segnatura]] della matrice <math>g_{ij}(x)</math> è la stessa per ogni <math> x </math> se la varietà è [[spazio connesso|connessa]]. |
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Se la segnatura è di tipo <math>(n,0)</math>, cioè se il prodotto scalare è ovunque [[prodotto scalare definito positivo|definito positivo]], il tensore induce una [[spazio metrico|metrica]] sulla varietà, che è quindi chiamata [[varietà riemanniana]]. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta [[varietà pseudo-riemanniana|pseudo-riemanniana]]. |
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Vediamo quindi che la distanza dipende dal prodotto scalare, il quale coinvolge al suo interno il tensore <math>g^{ij}</math>, che chiamiamo metrico proprio per le sue implicazioni sul concetto di misura delle distanze. |
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Le varietà riemanniane sono le più studiate in [[geometria differenziale]]. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno [[spazio euclideo]], benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo [[spaziotempo]] nella [[relatività generale]] è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura <math>(3,1)</math>. Una tale varietà è localmente simile allo [[spaziotempo di Minkowski]]. |
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Facciamo alcuni esempi: nello spazio euclideo ad n componenti, cioè quello che normalmente noi rappresentiamo, in cui le rette parallele non si incontrano (cioè vale il [[V postulato di Euclide]]), il tensore metrico altro non è che la matrice identità, cioè |
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== Voci correlate == |
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<math> |
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* [[Tensore]] |
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g^{ij} = \left(\begin{matrix} |
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* [[Spazio metrico]] |
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1 & 0 & ...&0 \\ |
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0 & 1 & ...&0\\ |
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...&...&...&...\\ |
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0 & 0&...&1\end{matrix}\right)</math> |
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ed il prodotto scalare assume quindi la forma che conosciamo bene: |
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<math>\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}+ ... +x_{n}y_{n}</math> |
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Nello spazio di Minkowski a quattro dimensioni usato per la relatività speciale, il tensore metrico ha la seguente forma: |
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<math> |
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g^{\mu\nu} = \left(\begin{matrix} |
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1 & 0 & 0& 0 \\ |
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0 & -1& 0& 0\\ |
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0 & 0 & -1& 0\\ |
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0 & 0 & 0& -1\end{matrix}\right)</math> |
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ed il prodotto scalare si può scrivere quindi come (indicando con l'indice 0 la componente temporale, e con 1,2,3 le tre componenti spaziali) |
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<math>\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = x_{0}y_{0} - x_{1}y_{1} - x_{2}y_{2} - x_{3}y_{3}</math> |
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Se indichiamo con <math>x^{\mu}</math> la quantità |
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<math>x^{\mu}= g^{\mu\nu}x_{\nu}</math> |
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(in soldoni, il nuovo vettore avrà semplicemente le componenti spaziali cambiate di segno) possiamo scrivere il prodotto scalare come |
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<math>\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= x^{\mu}y_{\mu}\equiv g^{\mu\nu}x_{\nu}y_{\mu}</math> |
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In relatività generale, il tensore metrico non ha una forma semplice come le due viste precedentemente, ma le proprietà geometriche restano e perciò i vettori utilizzano le stesse regole di trasformazione. |
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(Per approfondimenti cfr. [[tensore]]) |
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[[Categoria:Geometria differenziale]] |
[[Categoria:Geometria differenziale]] |
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Versione delle 02:51, 3 ago 2007
In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, il tensore metrico è un campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di distanza, angolo, lunghezza di una curva, geodetica, curvatura.
Definizioni
Prodotto scalare non degenere in ogni punto
Un tensore metrico è un campo tensoriale definito su una varietà differenziabile, di tipo , simmetrico e non degenere in ogni punto.
Il tensore definisce quindi in ogni punto un prodotto scalare non degenere fra i vettori dello spazio tangente nel punto.
Coordinate
Il tensore è indicato in coordinate come . Per ogni punto della varietà, fissato una carta locale, il tensore in è rappresentato quindi da una matrice simmetrica con determinante diverso da zero. Come tutti i campi tensoriali, la matrice cambia in modo differenziabile al variare di all'interno della carta.
Segnatura
Poiché il determinante non si annulla mai, la segnatura della matrice è la stessa per ogni se la varietà è connessa.
Se la segnatura è di tipo , cioè se il prodotto scalare è ovunque definito positivo, il tensore induce una metrica sulla varietà, che è quindi chiamata varietà riemanniana. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta pseudo-riemanniana.
Le varietà riemanniane sono le più studiate in geometria differenziale. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno spazio euclideo, benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo spaziotempo nella relatività generale è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura . Una tale varietà è localmente simile allo spaziotempo di Minkowski.
