Supporto (matematica)

In matematica, il supporto o sostegno di una funzione è la chiusura dell'insieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla.

Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva.

Nel caso di una misura $\mu$ su uno spazio misurabile $(X,{\mathcal {A}})$, il supporto è definito come la chiusura del sottoinsieme di $X$ i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Funzioni

Sia $X$ uno spazio topologico, e $Y$ uno spazio vettoriale. Sia:

$f:\Omega \subseteq X\to Y$

Si definisce supporto di $f$ l'insieme:

$\mathrm {supp} \,f:={\overline {\{\mathbf {x} \in \Omega \,t.c.\,f(\mathbf {x} )\neq \mathbf {0} \}}}$

Di particolare importanza in analisi sono le funzioni a supporto compatto.

Teoria della misura

Il supporto di una misura $\mu$ su uno spazio misurabile $(X,{\mathcal {A}})$ è la chiusura del sottoinsieme di $X$ i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Sia $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:

$\mathrm {supp} \,\mu :={\overline {\{x\in X\,:\forall N\ni x,\,\mu (N)>0\}}}$

Curve

Il supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia $\mathbf {r}$ la parametrizzazione di una curva:

$\mathbf {r} :I\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$

allora il suo supporto $\Gamma$ è l'insieme:

$\Gamma =\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,t.c.\,\exists t\in I,\,\mathbf {x} =\mathbf {r} (t)\}$

oppure, un po' meno formalmente, ma più immediato:

$\Gamma =\mathbf {r} (I)$

Si nota che per descrivere la curva non basta solo la sua parametrizzazione (o solo il suo supporto), ma necessariamente entrambi: a titolo di esempio, la curva $\gamma _{1}(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,2\pi ]$ e la curva $\gamma _{2}(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,5]$ hanno lo stesso supporto, ma la prima è chiusa e la seconda no.

Supporto singolare

Nell'analisi di Fourier, il supporto singolare di una distribuzione è intuitivamente definito come l'insieme dei punti in cui la distribuzione non è una funzione liscia. Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione gradino di Heaviside può essere vista come la funzione $1/x$ eccetto per il punto $x=0$. Nello specifico, essa ha la forma:

${\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}\mathrm {e} ^{-2\pi ixs}H(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\mathrm {p.v.} {\frac {1}{s}}\right)$

La trasformata possiede quindi un supporto singolare $\{0\}$ e non può essere espressa come una funzione, ma come la distribuzione (temperata) $\mathrm {p.v.} 1/s$ che associa alla funzione di test $\varphi$ il valore principale di Cauchy di:

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (s)/s\,\mathrm {d} s$

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., New York, John Wiley, 1999, p. 132.
• (EN) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed., Berlin, Springer-Verlag, 1990, p. 14.
• (EN) Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing, Berlin, Springer-Verlag, 2011, p. 678, DOI:10.1007/978-88-470-1781-8, ISBN 978-88-470-1780-1.

Voci correlate

• Chiusura (topologia)
• Dominio (matematica)
• Funzione a supporto compatto