Operatore di Hodge

In algebra lineare, l'operatore di Hodge o stella di Hodge, introdotto da William Vallance Douglas Hodge, è un operatore sull'algebra esterna di uno spazio vettoriale euclideo orientato . Di solito è indicato da un asterisco o da una stella che precede l'elemento a cui è applicato. Se la dimensione dello spazio è n, l'operatore lega k-vettori con (n − k)-vettori: questa corrispondenza è detta dualità di Hodge. Il duale di Hodge di un vettore è il vettore ottenuto dall'applicazione dell'operatore di Hodge.

In geometria differenziale, l'operatore di Hodge può essere esteso a fibrati vettoriali riemanniani orientati. Applicato allo spazio cotangente delle varietà riemannane orientate, l'operatore di Hodge permette di definire una norma L² sullo spazio delle forme differenziali. Il codifferenziale è quindi definito come la forma aggiunta della derivata esterna . Questo codifferenziale interviene in particolare nella definizione delle forme armoniche.

Definizione

Operatore di Hodge su k -vettori

Sia E uno spazio vettoriale euclideo orientato di dimensione finita n . I sottospazi $\wedge ^{k}(E)$ e $\wedge ^{n-k}(E)$ k -vettori e (n − k) -vettori sono della stessa dimensione, ovvero il coefficiente binomiale ${\textstyle n \choose k}$ . L'operatore di Hodge è un isomorfismo lineare indicato con $*$ tra questi due spazi. Per qualsiasi base ortonormale diretta $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}$ , si ha

$*(e_{1}\wedge e_{2}\wedge \ldots \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \cdots \wedge e_{n}.$

Si estende quindi per linearità a tutta l'algebra esterna. Si può dimostrare che questa definizione, nonostante coinvolga una base, è indipendente dalla base scelta.

Una definizione più adatta consiste nel coinvolgere la forma di volume $\omega$ dello spazio vettoriale euclideo orientato $E$. Il duale di Hodge si ottiene eseguendo la contrazione

$\;*\;X=\langle \omega ,X\rangle$

Dualità

Per un k -vettore $\eta \in \wedge ^{k}(E)$ dello spazio n-dimensionale $E$, applicando due volte l'operatore di Hodge si ottiene l'identità, a meno di un segno

$**\eta =(-1)^{k(n-k)}\;\eta$

Applicazioni

Prodotto scalare sull'algebra esterna

L'operatore di Hodge permette di definire un prodotto scalare sull'algebra esterna mediante la relazione

$\zeta \wedge *\eta =\langle \zeta |\eta \rangle \;*1=\langle \zeta |\eta \rangle \;{\overline {\omega }}$

Per questo prodotto scalare, i k -vettori ottenuti per prodotto esterno dalla base ortonormale di $E$ costituiscono una base ortonormale di $\wedge ^{k}(E)$.

Estensione agli spazi quadratici

È possibile definire un operatore di Hodge per uno spazio quadratico . La formula della dualità viene quindi modificata per tenere conto della segnatura della forma quadratica su $E$. Precisamente, moltiplichiamo il secondo membro per il discriminante di questa forma quadratica. Quindi se $n=4$ e se la segnatura è $(+,-,-,-)$ o $(-,+,+,+)$, l'esponente è $k(nk)+1$.

Bibliografia

• (en) Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 2002
• (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin e Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry
• (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry, 2003